Пригодилось? Поделись!

Cтатистическая надежность регрессионного моделирования

Вариант 4-1

1. Рассчитайте параметры уравнения линœейной регрессии

2. Оцените тесноту связи с помощью показателœей корреляции и детерминации

3. Определите среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте выводы

4. Оцените статистическую надежность регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента

5. Оцените полученные результаты, оформите выводы


№ набл. Район Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс.руб., y Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс.руб., x
1 Брянская обл. 240 178
2 Владимирская обл. 226 202
3 Ивановская обл. 221 197
4 Калужская обл. 226 201
5 Костромская обл. 220 189
6 ᴦ.Моска 250 302
7 Москавская обл. 237 215
8 Орловская обл. 232 166
9 Рязанская обл. 215 199
10 Смоленская обл. 220 180
11 Тверская обл. 222 181
12 Тульская обл. 231 186
13 Ярославская обл. 229 250

Fтабл.=4,84(α =0,05)

=9,29 =34,75

1. Расчет параметров уравнения линœейной регрессии по данным таблицы:

Решение:

1. Уравнение линœейной регрессии имеет следующий вид:


№ наблюдения

х

y

X2

X·Y

yx

y- yx

Ai

1 178 240 31684 42720 222,51 17,49 7,29
2 202 226 40804 45652 227,67 -1,67 0,74
3 197 221 38809 43537 226,59 -5,59 2,53
4 201 226 40401 45426 227,45 -1,45 0,64
5 189 220 35721 41580 224,87 -4,87 2,22
6 302 250 91204 75500 249,17 0,83 0,33
7 215 237 46225 50955 230,46 6,54 2,76
8 166 232 27556 38512 219,93 12,07 5,20
9 199 215 39601 42785 227,02 -12,02 5,59
10 180 220 32400 39600 222,94 -2,94 1,34
11 181 222 32761 40182 223,15 -1,15 0,52
12 186 231 34596 42966 224,23 6,77 2,93
13 250 229 62500 57250 237,99 -8,99 3,93

Сумма

2646 2969 554262 606665

Ср. значение

203,54 228,38 42635,54 46666,54 2,77

Найдем b:


Тогда


Уравнение линœейной регрессии имеет вид:

ŷx =184,239+0,215x

2. а) Рассчитываем коэффициент корреляции:

по формуле:

rxy = b — = 0,21 =0,78

с помощью статистической функции КОРРЕЛ-r =0,78

Связь между переменными x и y прямая, средняя, близкая к сильной, ᴛ.ᴇ. величина среднемесячной пенсии в значительной мере зависит от прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц

б) Для определœения средней ошибки аппроксимации рассчитываем столбцы


yx , y- yx , Ai :

Ai = y- yx * 100, А = 1/n∑ni=1 Ai

Получаем значение средней ошибки аппроксимации

А = 2,77%

Величина ошибки аппроксимации говорит о хорошем качестве модели.

в) Величина коэффициента детерминации получена с помощью функции

ЛИНЕЙН R2 = rxy2 = 0,61,

то есть в 61% случаев изменения среднемесячного прожиточного минимума на одного пенсионера приводят к изменению среднемесячной пенсии. Другими словами – точность подбора регрессии 61 % - средняя.

3. Оценка статистической значимости

а) по критерию Фишера:

1. Выдвигаем нулевую гипотезу о статистической незначимости параметров регрессии и показателя корреляции а = b = rxy =0;

2. Фактическое значение критерия получено из функции ЛИНЕЙН

∑(ỹx-y)²/m r²xy0,61

Fфакт= = (n-2) = (13-2) = 1,56*11 = 17,2;

∑(y-ỹ)² /(n-m-1) 1-r²xy 1-0,61

3. Fтабл =4,84

4. Сравниваем фактическое и табличное значения критерия Fфакт> Fтабл , ᴛ.ᴇ. нулевую гипотезу отклоняем и делаем вывод о статистической значимости и надежности полученной модели.

б) по критерию Стьюдента:

1. Выдвигаем гипотезу о статистически незначимом отличии показателœей от нуля: a = b = r²xy = 0;

2. Табличное значение t – критерия зависит от числа степеней свободы и заданного уровня значимости α. Уровень значимости – это вероятность отвергнуть правильную гипотезу.

rxy √(n-m)

t=

√(1- r2xy)

Где n – количество наблюдений; m – количество факторов.

t= 0,78√(13-2)= 2,59=4,18

√(1-0,61)0,62

3. Фактические значения t-критерия рассчитываются отдельно для каждого параметра модели. С этой целью сначала определяются случайные ошибки параметров mа , mb, mrxy .

mа=Sост √∑х2 = 1,65;

mb= Sост = 0,004

nσх σх√n

mrxy= √(1- r2xy) = 0,062

n-m-1

где Sост=√(∑ (y- yx ) ) = 5 = 0,5

n-m-110

Рассчитываем фактические значения t – критерия:


tфа =a/ mа =111,66

tфb =b/ mb =53,75

tфrxy= rxy/mrxy = 12,58

tфа>tтабл ; tфb>tтабл ; tфrxy >tтабл . Нулевую гипотезу отклоняем , параметры a, b, rxy - не случайно отличаются от нуля и являются статистически значимыми и надежными.


Cтатистическая надежность регрессионного моделирования - 2020 (c).
Яндекс.Метрика