---
Пройти Антиплагиат ©

Технические дисциплины Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея

Количество просмотров публикации Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея - 54

 Наименование параметра  Значение
Тема статьи: Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея
Рубрика (тематическая категория) Технические дисциплины

Articles-ads




Фазовая скорость

Монохроматическая волна вида:

бесконечнои̌ во времени и пространстве последовательностью ʼʼгорбов и впадинʼʼ, которые распространяются по оси X . Причем фазовая скорость перемещения максимумов и минимумов равна:

Скорость v -- означает скорость перемещения фазы. Используя такую волну нельзя передать сигнал, так как всœе ʼʼгорбыʼʼ эквивалентны. С целью передавать сигнал следует сделать на волне ʼʼметкуʼʼ (например сделать некоторый обрыв на конечное время riangle t ). Но при ϶том волна у не будет соответствовать уравнению (1).

Сигнал можно передать, используя импульс света. По теореме Фурье ᴇᴦο можно разложить в ряд с частотами в интервале riangle omega . Совокупность волн, которые различаются друг с другом, частотой в пределах малого интервала riangle omega называют волновым пакетом (группой волн). Аналитически волновой пакет можно представить как:

где индекс omega у величин A, k, alpha показывает, что относятся к разным частотам. В пределах пакета плоские волны усиливают друг друга, вне пакета происходит взаимное гашение волн. С целью сумму волн, которую описывает выражение (3), можно было считать пакетом, должно выполняться условие: riangle omega ll {omega }_0.

Групповая скорость

При отсутствии дисперсии всœе плоские волны в пакете распространяются с фазовой скоростью v . При таких условиях скорость распространения группы волн совпа с фазовой скоростью, форма пакета постоянна. В веществе при наличии дисперсии пакет со временем ширина пакета увеличивается. При малой дисперсии, скорость перемещения центра пакета (точка, в которой максимальна величина E ) называют групповой скоростью (u). Групповая скорость характеризует импульс, и соответствует скорости распространения энергии поля импульса или скорость перемещения амплитуды.

При наличии дисперсии групповая и фазовая скорость различны:



Рисунок 1.

Если пакет представлен двумя составляющими, то групповую скорость можно найти как:

Групповая скорость пакета волн, который задан уравнением (3) может быть определена как:

если в разложении функции k_{omega }=k_0+{left(frac{dk}{domega } ight)}_0left(omega -{omega }_0 ight)+dots left(7 ight) пренебречь членами высоких порядков. В выражении {left(frac{dk}{domega } ight)}_0 - производная в точке {omega }_0 . В формуле (6) индекс 0 опущен, так как не требуется. В таком приближении форма пакета волны постоянна во времени. Если в разложении (7) учесть следующие члены, то пакет волны будет расплываться.

Выражение групповой скорости (6) можно записать в виде:

Связь групповой и фазовой скоростей (формула Рэлея)

Выражение групповой скорости можно записать в виде:

Формула (9) называется формулой Рэлея. В том случае, если frac{dv}{dlambda } >0 имеют дело с нормальнои̌ дисперсией, и uv . Выражение (9) можно представить как:

Выражение (10) показывает зависимость групповой скорости от характеристик вещества.

При введении понятия групповой скорости используют случай, когда дисперсия не велика. В противном случае пакет волн быстро деформируется и само понятие групповой скорости не имеет смысла. К примеру, около полосы поглощения среды, в сфере существенного изменения фазовой скорости в зависимости от частоты формула (9) может дать величину u больше, чем скорость света в вакууме, или отрицательное значение. Таким образом в такой области формула Рэлея не применима.

Пример 1

Задание: Представьте групповую скорость в виде функции от показателя преломления и длины волны. Чему равна групповая скорость волн в воде, если {lambda }_1 =656,3 нм. Считайте, что при t=20{ m^circ!C} показатель преломления длины воны n_1=1,3311 , {lambda }_2=643,8 нм n_{12}=1,3314.

Решение:

За основу решения задачи примем определение групповой скорости:

[u=frac{domega }{dk}left(1.1 ight).]

Зная, что круговая частота связана с длиннои̌ волны соотношением:

[omega =frac{2pi с}{nlambda }left(1.2 ight).]

Волновой вектор можно записать как:

[k=frac{2pi }{lambda }left(1.3 ight).]

Подставим выражения (1.2) и (1.3) в (1.1), получим:

[u=frac{dleft(frac{2pi с}{nlambda } ight)}{dleft(frac{2pi }{lambda } ight)}=cfrac{(ndlambda +lambda dn)/n^2{lambda }^2}{dlambda /{lambda }^2}=frac{c}{n}left(1+frac{lambda }{n}frac{dn}{dlambda } ight)left(1.4 ight).]

Подставим данные ᴎɜ условий задачи, проведем вычисления:

[u=frac{3cdot {10}^8}{1,3311}left(1+frac{656,3}{1,3311}frac{0,0003}{12,5} ight)=2,28cdot {10}^8left(frac{м}{с} ight).]

Ответ: uleft(n,lambda ight)=frac{c}{n}left(1+frac{lambda }{n}frac{dn}{dlambda } ight)=2,28cdot {10}^8frac{м}{с}.

Задание: Найдите выражение групповой скорости ( u ), если фазовая скорость ( v ) представлена выражением: v=a{lambda }^q, где a=const, q

Решение:

В качестве основы решения задачи используем формулу Рэлея, определяющую групповую скорость вида:

Используя уравнение изменения фазовой скорости, заданное в условиях задачи найдем frac{dv}{dlambda } , имеем:

Подставим (2.2) в формулу Рэлея, получим:

Ответ: u=v(1-q) .


Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея"2018-2019.