---
Пройти Антиплагиат ©

Технические дисциплины Алгебраическая форма комплексного числа

Количество просмотров публикации Алгебраическая форма комплексного числа - 63

 Наименование параметра  Значение
Тема статьи: Алгебраическая форма комплексного числа
Рубрика (тематическая категория) Технические дисциплины

Articles-ads




Понятие 1

Выражение вида z=a+bi , где a и b - вещественные числа, а i - ʼʼмнимая единицаʼʼ, называется комплексным числом z . Мнимая единица определяется равенством i=sqrt{-1} или i^{2} =-1 .

Понятие 2

Запись некоторого комплексного числа z в виде z=a+bi называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При ϶том:

  • вещественная (действительная) часть, обозначение Rez=a ;
  • мнимая часть, обозначение Imz=b .
Дополнительный материал 1

В обозначениях действительнои̌ и мнимой частей любое комплексное число z можно записать в виде z=Rez+Imzcdot i .

Дополнительный материал 2

При Rez=a=0 получаем чисто мнимое комплексное число z=0+bi=bi .

При Imz=b=0 получаем действительное число z=a+0i=a .

Понятие 3

Комплексное число вида z=a-bi называется числом комплексно-сопряженным z=a+bi .

Представление комплексно-сопряженного числа z=a-bi в алгебраической форме записи имеет вид z=a+(-b)i .

Дополнительный материал 3

Комплексно-сопряженное число вида z=a-bi часто приводят к алгебраической форме записи z=a+(-b)i , вместе с ᴛᴇᴍ при решении задач допускается и запись z=a-bi .

Пример 1

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1) z=2-3i ; 2) z=3cdot (2+3i) .

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=a+bi .

1) В исходном комплексном числе z имеем a=2,b=-3 .

Отсюда следует, что, в алгебраической форме число z записывается следующим образом [z=2+(-3)i.]

2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления: [z=3cdot (2+3i)=3cdot 2+3cdot 3i=6+9i]

Отсюда следует, что, в алгебраической форме число z записывается следующим образом [z=6+9i.]

Пример 2

Представить в алгебраической форме заданные комплексные числа, которых:

[1) Rez=0,Imz=5; 2) Rez=4,Imz=0; 3) Rez=10,Imz=sqrt{3} ; 4) Rez=frac{sqrt{2} }{2} ,Imz=-frac{sqrt{2} }{2} .]

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=a+bi , где Rez=a и Imz=b .

Для Rez=0,Imz=5 получаем комплексное число z=0+5i .

Для Rez=4,Imz=0 получаем комплексное число z=4+0i .

Для Rez=10,Imz=sqrt{3} получаем комплексное число z=10+sqrt{3} i .

Для Rez=frac{sqrt{2} }{2} ,Imz=-frac{sqrt{2} }{2} получаем комплексное число z=frac{sqrt{2} }{2} +left(-frac{sqrt{2} }{2} ight)i .

Пример 3

Представить комплексное число z в алгебраической форме: z=frac{3-2i}{sqrt{2} } .

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=a+bi .

[z=frac{3-2i}{sqrt{2} } =frac{3}{sqrt{2} } -frac{2}{sqrt{2} } i=frac{3sqrt{2} }{2} -sqrt{2} i=frac{3sqrt{2} }{2} +(-sqrt{2} )i.]

Отсюда следует, что, z=frac{3sqrt{2} }{2} +(-sqrt{2} )i - искомая запись комплексного числа.

Понятие 4

Запись комплексного числа z в виде z=rcdot (cos varphi +isin varphi ) называется тригонометрической формой записи, где число r - модуль комплексного числа z , определяемый по формуле r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } , varphi - аргумент комплексного числа z , определяемый по формуле varphi =arctgfrac{b}{a} .

Алгоритм 1

Чтобы комплексное число z , записанное в тригонометрической форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

подставить в запись числа соответствующие значения cos varphi и sin varphi (использовать таблицы Брадиса);

преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.

Пример 4

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

[1) z=3cdot (cos 2pi +isin 2pi ); 2) z=frac{1}{sqrt{2} } cdot (cos frac{pi }{4} +isin frac{pi }{4} ).]

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=a+bi .

1) По таблице косинусов и синусов cos 2pi =1;sin 2pi =0 .

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления: [z=3cdot left(1+0i ight)=3+0cdot i.]

Отсюда следует, что, z=3+0cdot i - искомая запись комплексного числа.

2) По таблице косинусов и синусов cos frac{pi }{4} =frac{sqrt{2} }{2} ;sin frac{pi }{4} =frac{sqrt{2} }{2} .

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

[z=frac{1}{sqrt{2} } cdot left(frac{sqrt{2} }{2} +ifrac{sqrt{2} }{2} ight)=frac{1}{2} +frac{1}{2} cdot i.]

Отсюда следует, что, z=frac{1}{2} +frac{1}{2} cdot i - искомая запись комплексного числа.

Понятие 5

Запись комплексного числа z в виде z=rcdot e^{ivarphi } называется показательнои̌ формой записи, где число r - модуль комплексного числа z , определяемый по формуле r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } , varphi - аргумент комплексного числа z , определяемый по формуле varphi =arctgfrac{b}{a} .

Алгоритм 2

Чтобы комплексное число z , записанное в показательнои̌ форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

  • записать комплексное число в тригонометрической форме;
  • подставить в запись числа соответствующие значения cos varphi и sin varphi (использовать таблицы Брадиса);
  • преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.
Пример 5

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1) z=3cdot e^{frac{pi }{3} cdot i} ; 2) z=6cdot e^{pi cdot i} .

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=a+bi .

1) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: z=3cdot (cos frac{pi }{3} +isin frac{pi }{3} ) .

По таблице косинусов и синусов cos frac{pi }{3} =frac{1}{2} ;sin frac{pi }{3} =frac{sqrt{3} }{2} .

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

[z=3cdot left(frac{1}{2} +ifrac{sqrt{3} }{2} ight)=frac{3}{2} +frac{3sqrt{3} }{2} cdot i.]

Отсюда следует, что, z=frac{3}{2} +frac{3sqrt{3} }{2} cdot i - искомая запись комплексного числа.

2) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: z=6cdot (cos pi +isin pi ) .

По таблице косинусов и синусов cos pi =-1;sin pi =0 .

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

[z=3cdot left(-1+0cdot i ight)=-1+0cdot i.]

Отсюда следует, что, z=-1+0cdot i - искомая запись комплексного числа.

Вывод

Исходя из всᴇᴦο выше сказанного, мы приходим к выводу, что можно сделать вывод о том, что в каком бы виде не было записано комплексное число z , ᴇᴦο всœегда можно представить в алгебраической форме записи z=a+bi .


Алгебраическая форма комплексного числа - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Алгебраическая форма комплексного числа"2018-2019.



Читайте также


  • - Алгебраическая форма комплексного числа

    Определение 1 Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=sqrt{-1} $ или $i^{2} =-1$. Определение 2 Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется... [читать далее].