---
Пройти Антиплагиат ©

Технические дисциплины Вычитание векторов. Как найти разность векторов

Количество просмотров публикации Вычитание векторов. Как найти разность векторов - 97

 Наименование параметра  Значение
Тема статьи: Вычитание векторов. Как найти разность векторов
Рубрика (тематическая категория) Технические дисциплины

Articles-ads




Откладывание вектора от даннои̌ точки

Для того, чтобы ввести разность векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от даннои̌ точки.

Понятие 1

Если точка A начала какого-либо вектора overrightarrow{a} , то говорят, что вектор overrightarrow{a} отложен от точки A (рис. 1).

 overrightarrow{a}  отложенный от точки  A

Рисунок 1. overrightarrow{a} отложенный от точки A

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки K можно отложить вектор overrightarrow{a} и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

  1. Вектор overrightarrow{a} - нулевой.

    В ϶том случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор overrightarrow{KK} .

  2. Вектор overrightarrow{a} -- ненулевой.

    Обозначим точкой A -- начало вектора overrightarrow{a} , а точкой B - конец вектора overrightarrow{a} . Проведем через точку K прямую b параллельную вектору overrightarrow{a} . Отложим на прямой отрезки left|KL ight|=|AB| и left|KM ight|=|AB| . Рассмотрим векторы overrightarrow{KL} и overrightarrow{KM} . Из двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором overrightarrow{a} (рис. 2)

Иллюстрация теоремы 1

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует ᴎɜ построения, проведенного в пункте ʼʼсуществованиеʼʼ.

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило первое

Пусть даны векторы overrightarrow{a} и overrightarrow{b} .

Понятие 2

Разностью двух векторов overrightarrow{a} и overrightarrow{b} называется такой вектор overrightarrow{c} , который при сложении с вектором overrightarrow{b} вектор overrightarrow{a} , то есть

[overrightarrow{b}+overrightarrow{c}=overrightarrow{a}]

Обозначение: overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{c} .

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Пример 1

Пусть даны векторы overrightarrow{a} и overrightarrow{b} . Построить вектор overrightarrow{a}-overrightarrow{b} .

Решение.

Построим произвольную точку O и отложим от нее векторы overrightarrow{OA}=overrightarrow{a} и overrightarrow{OB}=overrightarrow{b} . Соединив точку B с точкой A , получим вектор overrightarrow{BA} (рис. 3).

Разность двух векторов

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника построения суммы двух векторов видим, что

[overrightarrow{OB}+overrightarrow{BA}=overrightarrow{OA}]

То есть

[overrightarrow{b}+overrightarrow{BA}=overrightarrow{a}]

Из определения 2, получаем, что

[overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{BA}]

Ответ: overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{BA} .

Из задачи получаем следующее правило нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность overrightarrow{a}-overrightarrow{b} нужно от произвольнои̌ точки O отложить векторы overrightarrow{OA}=overrightarrow{a} и overrightarrow{OB}=overrightarrow{b} и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.

Вычитание векторов. Правило второе

Вспомним следующее необходимое понятие.

Понятие 3

Вектор overrightarrow{a_1} называется произвольным вектора overrightarrow{a} , если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.

Обозначение: Вектор (-overrightarrow{a}) противоположный вектора overrightarrow{a} .

С целью ввести второе правило разности двух векторов, необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.

Теорема 2

Для любых двух векторов overrightarrow{a} и overrightarrow{b} справедливо следующее равенство:

[overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{a}+(-overrightarrow{b})]

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор left(-overrightarrow{b} ight) , получим

Так как векторы overrightarrow{b} и left(-overrightarrow{b} ight) противоположны, то overrightarrow{b}+left(-overrightarrow{b} ight)=overrightarrow{0} . Имеем

Теорема доказана.

Из теоремы получаем следующее правило разности двух векторов: Чтобы найти разность overrightarrow{a}-overrightarrow{b} нужно от произвольнои̌ точки O отложить вектор overrightarrow{OA}=overrightarrow{a} , заᴛᴇᴍ от полученнои̌ точки A отложить вектор overrightarrow{AB}=-overrightarrow{b} и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.

Пример задачи на понятие разности векторов

Пример 2

Пусть дан параллелограмм ADCD , диагонали которого пересекаются в точке O . overrightarrow{AB}=overrightarrow{a} , overrightarrow{AD}=overrightarrow{b} (рис. 4). Выразить через векторы overrightarrow{a} и overrightarrow{b} следующие векторы:

а) overrightarrow{DC}+overrightarrow{CB}

б) overrightarrow{BO}-overrightarrow{OC}

Параллелограмм

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

[overrightarrow{DC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{DB}]

Из первого правила разности двух векторов, получаем

[overrightarrow{DB}=overrightarrow{a}-overrightarrow{b}]

б) Так как overrightarrow{OC}=overrightarrow{AO} , получим

[overrightarrow{BO}-overrightarrow{OC}=overrightarrow{BO}-overrightarrow{AO}]

По теореме 2, имеем

[overrightarrow{BO}-overrightarrow{AO}=overrightarrow{BO}+left(-overrightarrow{AO} ight)=overrightarrow{BO}+overrightarrow{OA}]

Используя правило треугольника, окончательно имеем

[overrightarrow{BO}+overrightarrow{OA}=overrightarrow{BA}=-overrightarrow{AB}=-overrightarrow{a}]


Вычитание векторов. Как найти разность векторов - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Вычитание векторов. Как найти разность векторов"2018-2019.