---
Пройти Антиплагиат ©

Технические дисциплины Иррациональные выражения, уравнения и неравенства

Количество просмотров публикации Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - 89

 Наименование параметра  Значение
Тема статьи: Иррациональные выражения, уравнения и неравенства
Рубрика (тематическая категория) Технические дисциплины

Articles-ads




Понятие корня n -ой степени

Пусть a - действительное число и n -- натуральное число больше единицы.

Понятие 1

Корнем n -ой степени ᴎɜ числа a называется такое действительное число c , что c^n=a .

Дополнительный материал 1

Любое число a

Дополнительный материал 2

Если число c - корень четнои̌ степени числа a , то (-c) так корень четнои̌ степени числа a .

Арифметический корень

Понятие 2

Действительное число cge 0 называется арифметическим корнем n -ой степени ᴎɜ действительного числа a , где n -- натуральное число больше единицы, если c^n=a .

Дополнительный материал 3

Важно заметить, что каждое действительное число a

Можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 1

Важно заметить, что каждое число age 0 при любом натуральном n >1 имеет единственный арифметический корень n -ой степени.

Свойства корней n -ой степени

  1. Корень произведения равен произведению корней.

    [sqrt[n]{ab}=sqrt[n]{a}sqrt[n]{b}]

    где a,bge 0

  2. Корень частного равен частному корней.

    [sqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}]
  3. [sqrt[n]{sqrt[k]{a}}=sqrt[{nk}]{a}]
  4. [sqrt[{nk}]{a^{mk}}=sqrt[n]{a^m}]

Иррациональные выражения

Рассмотрим пример задачи на упрощение иррациональных выражений.

Пример 1

Упростить выражение

[frac{sqrt{x^3}+sqrt{xy^2}-sqrt{x^2y}-sqrt{y^3}}{sqrt[4]{y^5}+sqrt[4]{x^4y}-sqrt[4]{xy^4}-sqrt[4]{x^5}}]

Решение.

Используя свойство корней 3, получим:

[frac{sqrt{x^3}+sqrt{xy^2}-sqrt{x^2y}-sqrt{y^3}}{sqrt[4]{y^5}+sqrt[4]{x^4y}-sqrt[4]{xy^4}-sqrt[4]{x^5}}=frac{xsqrt{x}+ysqrt{x}-xsqrt{y}-ysqrt{y}}{ysqrt[4]{y}+xsqrt[4]{y}-ysqrt[4]{x}-xsqrt[4]{x}}=] [frac{sqrt{x}left(x+y ight)-sqrt{y}(x+y)}{sqrt[4]{y}left(y+x ight)-sqrt[4]{x}(y+x)}=frac{sqrt{x}-sqrt{y}}{sqrt[4]{y}-sqrt[4]{x}}=frac{-left(sqrt[4]{y}-sqrt[4]{x} ight)(sqrt[4]{y}+sqrt[4]{x})}{sqrt[4]{y}-sqrt[4]{x}}=-sqrt[4]{y}-sqrt[4]{x}]

Иррациональные уравнения

Рассмотрим задачи на решение иррациональных уравнений.

Пример 2

Решить уравнение sqrt[4]{2x+8}=2

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся теоремой

Теорема 2. Уравнение sqrt[{2n}]{f(x)} =g(x) равносильно системе

[left{egin{array}{l} {f(x)=g^{2n} (x),} \ {g(x)ge 0.} end{array} ight. ]

По теореме 1, получаем

[left{ egin{array}{c} {2x+8=2^4,} \ {2x+8ge 0.} end{array} ight.] [left{ egin{array}{c} {2x+8=16,} \ {2xge -8.} end{array} ight.] [left{ egin{array}{c} {x=4,} \ {xge -4.} end{array} ight.]

Ответ: 4 .

Пример 3

Решить уравнение sqrt{2x-1}=x-2

Найдем область определения:



Рисунок 1.

Возведем обе в квадрат:

[2x-1=x^2-4x+4] [x^2-6x+5=0] [x=1-посторонний корень, x=5]

Ответ: 5 .

Иррациональные неравенства

Рассмотрим задачи на решение иррациональных неравенств.

Пример 4

Решить неравенство sqrt{{(x^2-2x+1)}^2} >4

Решение.

Воспользовавшись свойством sqrt{x^2}=|x| , получим

[|x^2-2x+1| >4]

Данное неравенство равносильно совокупности

[left[ egin{array}{c} {x^2-2x+1 >4,} \ {x^2-2x+10,} \ {x^2-2x+5Из первого неравенства получаем, что xin left(-infty ,-1 ight)left(3,+infty ight) .

Так как дискриминант второго неравенства D=4-20=-16

Ответ: xin left(-infty ,-1 ight)left(3,+infty ight) .

Пример 5

Решить неравенство sqrt{x^2-3x+2} >x+3

Решение.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

  1. Первая система:

    [left{ egin{array}{c} {x+32} end{array} ight. end{array} ight.] [xin (-infty ,-3).]
  2. Вторая система:

    [left{ egin{array}{c} {x+3ge 0,} \ {x^2-3x+2ge 0} \ {x^2-3x+2 >{(x+3)}^2} end{array} ight.] [left{ egin{array}{c} {xge -3,} \ left[ egin{array}{c} {x2} end{array} ight. \ {x^2-3x+2 >x^2+6x+9} end{array} ight.] [left{ egin{array}{c} {xge -3,} \ left[ egin{array}{c} {x2} end{array} ight. \ {x

Ответ: left(-infty ,-frac{7}{9} ight)


Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Иррациональные выражения, уравнения и неравенства"2018-2019.