---
Пройти Антиплагиат ©

Технические дисциплины Куб суммы

Количество просмотров публикации Куб суммы - 99

 Наименование параметра  Значение
Тема статьи: Куб суммы
Рубрика (тематическая категория) Технические дисциплины

Articles-ads




Формула куба суммы однои̌ ᴎɜ формул сокращенного умножения. В основном, такие формулы основаны на таком понятии как Бином Ньютона. По϶тому сначала познакомимся с ним.

Бином Ньютона

Интересующая нас формула, как и многие другие, находятся с помощью формулы Бинома Ньютона.

Эта формула имеет следующий вид:

(α+β)^z=C_z^0 α^z+C_z^1 α^{z-1} β+C_z^2 α^{z-2} β^2+⋯+C_z^{z-1} αβ^{z-1}+C_z^z β^z

Здесь числа C_z^0,C_z^1,…,C_z^{z-1},C_z^z называются коэффициентами Бинома Ньютона. Чаще всœᴇᴦο эти коэффициенты находятся с помощью треугольника Паскаля (Таблица 1).

Вычисленные коэффициентов треугольника паскаля вы можете увидеть в таблице 2.

Формула куба суммы через Бином Ньютона

Теперь, используя формулу Бинома Ньютона рассмотренную выше, мы можем вывести формулу куба суммы (α+β)^3 . Из формулы получаем:

(α+β)^3=C_3^0 α^3+C_3^1 α^2 β+C_3^2 aβ^2+C_3^3 β^3

Из таблицы 2, получаем:

C_3^0 α^3+C_3^1 α^2 β+C_3^2 aβ^2+C_3^3 β^3=α^3+3α^2 β+3aβ^2+β^3

Отсюда следует, что, получаем что, куб суммы двух выражений равняется сумме кубов выражений, сложенным с произведением квадрата первого со вторым, умноженного на три и произведением квадрата второго с первым, так умноженного на три, то есть:

(α+β)^3=α^3+3α^2 β+3aβ^2+β^3

Формула куба суммы через другие формулы

Формулу куба суммы можно так найти с помощью другой формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы:

(α+β)^2=α^2+2aβ+β^2

Итак, получаем:

(α+β)^3=(α+β)^2 (α+β)=(α^2+2aβ+β^2 )(α+β)

Далее, перемножая последние скобки, будем иметь:

(α^2+2aβ+β^2 )(α+β)=α^3+α^2 β+2α^2 β+2aβ^2+aβ^2+β^3=α^3+3α^2 β+3aβ^2+β^3

Отсюда следует, что, получаем что, куб суммы двух выражений равняется сумме кубов выражений, сложенным с произведением квадрата первого со вторым, умноженного на три и произведением квадрата второго с первым, так умноженного на три, то есть:

(α+β)^3=α^3+3α^2 β+3aβ^2+β^3

Примеры задач

Пример 1

Найти куб выражения (2x+3y)

Решения

Из формулы куба суммы, получаем:

(2x+3y)^3=(2x)^3+3cdot (2x)^2cdot 3y+3cdot 2xcdot (3y)^2+(3y)^3=8x^3+36x^2 y+54xy^2+27y^3

Дополнительный материал 1

Особое внимание нужно обращать на формулу необходимо использовать к одночленам, входящим в сумму, целиком. Частой ошибкой в таком случае бывает, что в куб возводится только часть одночлена (к примеру, возводят не 3y целиком, а только y , что к ошибке!!!)

Пример 2

Возвести в куб:

а) (-8α-5β)^3

б) (q^2+7)^3

Решение.

а) (-8α-5β)^3

Так как у нас нечетная степень, то мы можем вынести знак ʼʼминусʼʼ за скобки, получим:

(-8α-5β)^2=-(8α+5β)^3

Используем формулу куба суммы:

(8α+5β)^3=(8α)^3+3cdot (8α)^2cdot 5β+3cdot 8αcdot (5β)^2+(5β)^3=512α^3+960α^2 β+600αβ^2+125β^3

Окончательно

(-8α-5β)^3=-512α^3-960α^2 β-600αβ^2-125β^3

б) (q^2+7)^2

Используем формулу куба суммы:

(q^2+7)^2=(q^2)^3+3cdot (q^2)^2cdot 7+3cdot q^2cdot 7^2+7^3=q^6+21q^4+147q^2+343

Пример 3

Представить в виде куба 8x^3+12x^2+6x+1

Решение.

Эᴛο выражение можно записать следующим образом:

8x^3+12x^2+6x+1=(2x)^3+3cdot (2x)^2cdot 1+3cdot 2xcdot 1+1^3

Отсюда следует, что, по формуле куба суммы

8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1)^3

Пример 4

Вывести формулу куба суммы трех выражений.

Решение.

По условию задачи нужно раскрыть скобки в следующем выражении

(α+β+γ)^3

Считая (α+β) за первый член суммы, а γ за второй, по формуле куба имеем

(α+β+γ)^3=(α+β)^3+3(α+β)^2 γ+3(α+β)γ^2+γ^3

По формулам куба и квадрата сумм, подставляя и раскрывая скобки, будем получать

(α+β+γ)^3=α^3+3α^2 β+3aβ^2+β^3+3α^2 γ+6αβγ+3β^2 γ+3αγ^2+3βγ^2+γ^3

Окончательно

(α+β+γ)^3=α^3+β^3+γ^3+3α^2 β+3α^2 γ+3aβ^2+3αγ^2+3βγ^2+3β^2 γ+6αβγ

Исходя из всᴇᴦο выше сказанного, мы приходим к выводу, что используя различные такие формулы можно вывести ещё множество формул сокращенного умножения и рационального преобразования выражений. В частности помогают и при решений конкретных математический уравнений и задач.


Куб суммы - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Куб суммы"2018-2019.



Читайте также


  • - Куб суммы

    Формула куба суммы является одной из формул сокращенного умножения. В основном, такие формулы основаны на таком понятии как Бином Ньютона. Поэтому сначала познакомимся с ним. Бином НьютонаИнтересующая нас формула, как и многие другие, находятся с помощью формулы Бинома... [читать далее].