Пройти Антиплагиат ©



Главная » Рефераты » Текст работы «Проверка статистических гипотез при помощи системы "Minitab" для Windows»


Проверка статистических гипотез при помощи системы "Minitab" для Windows

Общие понятия статистической проверки гипотез. Проверка гипотез на основе выборочной информации, понятие нулевая и альтернативная гипотезы. Формулировка общего алгоритма проверки. Проведение проверки статистической гипотезы в системе "Minitab" и MS Excel.

Дисциплина: Экономико-математическое моделирование
Вид работы: методичка
Язык: русский
Дата добавления: 28.12.2017
Размер файла: 741 Kb
Просмотров: 3361
Загрузок: 32

Все приложения, графические материалы, формулы, таблицы и рисунки работы на тему: Проверка статистических гипотез при помощи системы "Minitab" для Windows (предмет: Экономико-математическое моделирование) находятся в архиве, который можно скачать с нашего сайта.
Приступая к прочтению данного произведения (перемещая полосу прокрутки браузера вниз), Вы соглашаетесь с условиями открытой лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная (CC BY 4.0)
.

1

Министерство образования и науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторной работы №2

”Проверка статистических гипотез при помощи

системы MINITAB для WINDOWS “

по учебной дисциплине

«Прикладная статистика»

для студентов экономических специальностей

всех форм обучения

Севастополь

2008

УДК 658.

Проверка статистических гипотез при помощи системы " MINITAB" для WINDOWS. Методические указания по выполнению лабораторной работы №2 по дисциплине "Прикладная статистика" / Сост. И. А. Гребешкова, Д.В. Филатова, Б.А. Букач, М.В. Погорелова, А.Д.Горобец, А Загорулько - Севастополь: Изд-во СевГТУ, 2008. - 10 с.

Целью методических указаний является применение теоретических знаний по теме "Проверка статистических гипотез" при решении ситуаций с помощью системы MINITAB. Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей.

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры менеджмента и экономико-математических методов, (протокол № 6 от "20" __февраля 2008 г.)

Допущено учебно-методическим центром СевГТУ в качестве методических указаний

Рецензенты:

Цуканов А.В, д.т.н., заведующий кафедры "Менеджмент и экономико-математические методы"

Персидсков Г.М. - нормоконтроль

Содержание

Стр.

Общие понятия статистической проверки гипотез. 4

Проверка статистических гипотез в системе MINITAB 5

Пример проверки статистической гипотезы 5

Задание по выполнению лабораторной работы 9

Порядок выполнения работы 12

Контрольные вопросы 12

Библиография 13

1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ.

Статистическая гипотеза обычно представляет собой некоторое предположение об одном или нескольких параметрах функции распределения случайной величины.

Пример статистической гипотезы: «генеральная совокупность распределена по нормальному закону», «различие между дисперсиями двух выборок незначимо» и т.д.

В теории статистического вывода обычно проверяются гипотезы на основе выборочной информации. В практике статистической работы чаще всего имеют дело с двумя конкурирующими гипотезами: нулевой гипотезой, обозначаемой H0; и альтернативной гипотезой, обозначаемой H1. Нулевая гипотеза используется при статистической проверке гипотез об отсутствии существующих различий между несколькими выборочными совокупностями, для суждения о близости фактического распределения к теоретическому (нормальному), об отсутствии зависимости между признаками. Суть нулевой гипотезы состоит в признании того, что выборки взяты из одной совокупности, фактическое распределение укладывается в теоретическое, зависимость между признаками отсутствует и т. д. Следовательно, нулевая гипотеза - это гипотеза, подлежащая проверке. И если отвергается нулевая гипотеза как неподходящая в каком-то статистическом смысле, то принимается альтернативная гипотеза.

Так как мы имеем дело с неизвестной генеральной совокупностью и выносим суждения о ней на основе выборочной информации, то мы можем и не прийти к правильному выводу. Мы сделаем неправильный вывод, если отвергнем нулевую гипотезу, когда она справедлива (ошибка I рода), или примем нулевую гипотезу, когда она ошибочна (ошибка II рода).

В большинстве случаев при проведении проверки гипотез в экономике задается некоторый допустимый уровень вероятности совершения ошибки I рода () и осуществляется проверка на основе выборочной информации. В классическом статистическом выводе существует два общих правила для определения величины :

чем больше степень уверенности в нулевой гипотезе, тем меньше должно быть значение .

чем больше цена отбрасывания справедливой нулевой гипотезы, тем меньше значение должно иметь .

Сформулируем общий алгоритм проверки статистических гипотез. Процедуру проверки можно описать следующими шагами:

1) формулировка гипотезы. Гипотеза формулируется в терминах различия величин. Например, есть случайная величина х и константа a. Они не равны (арифметически), но нужно установить, значимо ли статистически между ними различие. Имеет место два типа критериев:

а) двухсторонний критерий вида: х a;

б) односторонний критерий вида: х< a или х< a.

Необходимо отметить, что знаки >, <, = здесь используются не в арифметическом, а в «статистическом» смысле. Их необходимо читать «значимо больше», «значимо меньше», «различие незначимо».

2) Установка закона распределения. Далее необходимо установить или постулировать закон распределения. Существуют также критерии, которые не зависят от вида распределения - так называемые непараметрические критерии.

3) Вычисление тестовой статистики. Тестовая статистика - некоторая функция от рассматриваемых величин, закон распределения которой точно известен и ее можно сравнить с табличным значением.

4) Сравнение с табличным значением. Затем тестовая статистика сравнивается с табличным значением. Тестовая статистика всегда зависит от доверительной вероятности, и, в некоторых случаях, от дополнительных параметров. Так, в приведенном выше примере сравнения двух дисперсий тестовая статистика сравнивается с табличным значением критерия Фишера («критическим» значением), которое зависит от доверительной вероятности и числа степеней свободы дисперсий.

5) Вывод. На основании сравнения делается вывод о том, выполняется ли гипотеза (например, значимо ли различие и т.д.).

Уровень значимости - это такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существующего расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки.

Допустим, рассчитанное по эмпирическим данным значение критерия попало в критическую область. Тогда при условии верности проверяемой гипотезы H0 вероятность этого события будет не больше уровня значимости . Поскольку выбирается достаточно малым, то такое событие является маловероятным, и, следовательно, проверяемая гипотеза может быть отвергнута. Если же наблюдаемое значение характеристики не принадлежит к критической области, и, следовательно, находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза H0 не отвергается. Вероятность попадания критерия в область допустимых значений при справедливости проверяемой гипотезы H0 равна . Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность забраковать проверяемую гипотезу, когда она верна, то есть меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Но при всём этом расширяется область допустимых значений и, значит, увеличивается вероятность совершения ошибки II рода.

Если альтернативная гипотеза , то гипотеза называется двухсторонней. Если гипотеза имеет вид и , то такую гипотезу называют односторонней. При проверке двухсторонней гипотезы с уровнем значимости критическое значение будет определено с уровнем значимости /2 и с соответствующим числом степеней свободы. При проверке односторонней гипотезы критическое значение будет определено с соответствующим числом степеней свободы и уровнем значимости .

Для принятия решения о принятии или отвержении гипотезы необходимо рассчитать расчетное значение критерия, выбрать критическую область, и сравнить расчетное значении критерия с табличным. Критическая область будет зависеть от выбранной альтернативной гипотезы, как показано на рисунках 1-3.

1

Рисунок 1.1.- Двухсторонняя критическая область.

Гипотезы:

Табличное значение критерия определяется для уровня значимости /2 и соответствующего числа степеней свободы. Если TRрасчетное попадает в интервал (;), то принимается нулевая гипотеза, в противном случае, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная:

1

Рисунок 1.2.- Критическая область при альтернативной гипотезе «больше чем».

Гипотезы:

Табличное значение критерия определяется для уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы. Если T расчетное попадает в интервал (;), то принимается нулевая гипотеза, в противном случае, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

1

Рисунок 1.3.- Критическая область при альтернативной гипотезе «меньшечем».

Гипотезы:

Табличное значение критерия определяется для уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы. Если T расчетное попадает в интервал (), то принимается нулевая гипотеза, в противном случае, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

1.1 Проверка гипотезы при наличии одной выборки.

Данная процедура помогает определить, насколько сильно разброс данных оказывает влияние на истинное значение среднего в генеральной совокупности. Например, имеются данные о заработной плате, полученные в ходе опроса: 450,680,850,1500,3500,1200,1000,700. Необходимо определить, является средняя заработная плата в регионе равной 1500 гривен.

Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезу.

H0: - средняя заработная плата равна 1500 гривен.

H1: - средняя заработная плата не равна 1500 гривен

Выбор уровня значимости (вероятности ошибки).

.

Выбор теста.

t критерий Стьюдента:

, где

- среднее значение выборки, - среднее значение нулевой гипотезы, - среднеквадратическое отклонение, n - количество данных в выборке.

Определение критической области.

Так как альтернативная гипотеза имеет следующий вид: H1: , то необходимо применять двусторонний тест. Для определения критической области рассчитаем t (7, 0.005)=4.029 [t(n-1, /2)].

Правило принятия (отвержения) гипотезы: если TR<-4.029 и TR>4.029, то отвергается H0 и принимается H1.

Выполнение необходимых вычислений.

Вычислим t расчетное (TR) :

Таблица 3.1 Вспомогательные расчеты

450

-785

616225

680

-555

308025

850

-385

148225

1500

265

70225

3500

2265

5130225

1200

-35

1225

1000

-235

55225

700

-535

286225

6615600

Таким образом имеем:

==972,15

==-0,77

Принятие статистического решения.

Так как -4.029<TR<4.029, тогда с =0.01 гипотеза Н0 о равенстве среднего значения заработной платы в размере 1500 грн. принимается при =0.01. Следовательно, средняя заработная плата составляет 1500 гривен.

Если мы хотим узнать, является ли заработная плата выше чем 1500 гривен, то необходимо сформулировать новые гипотезы:

H0: - средняя заработная плата равна 1500 гривен.

H1: - средняя заработная плата не равна 1500 гривен

Так как альтернативная гипотеза имеет следующий вид: H1: , то необходимо применять односторонний тест. Для определения критической области рассчитаем t (7, 0.01)=3.499 [t(n-1, )].

, то гипотеза H0 о равенстве среднего значения заработной платы 1500 грн. принимается при =0.01. Следовательно, нельзя говорить о том, что средняя заработная плата выше 1500 гривен.

1.2 Проверка гипотез по двум выборкам.

Пусть, после проведения экономических реформ снова был произведен опрос о заработной плате. Получены новые данные: 600,600,1300,1100,3700,1600,1100,800.

Необходимо выяснить, привели ли реформы к росту благосостояния населения.

Сформулируем гипотезы:

H0: - средняя заработная плата до реформ равна средней зарплате после реформ.

H1: - средняя заработная после реформ больше, чем средняя зарплата до реформ

Выбор уровня значимости (вероятности ошибки).

.

Выбор теста.

t критерий Стьюдента для двух выборок:

Число степеней свободы:

- среднее значение выборки, - среднеквадратическое отклонение, n - количество данных в выборке.

Выполнение необходимых вычислений.

Вычислим t расчетное (TR) :

Число степеней свободы:


Определение критической области.

Для определения критической области рассчитаем число степеней совбодt (14, 0.01)=2.977 [t(n-1, /2)].

Правило принятия (отвержения) гипотезы: если TR<-2.977, то отвергается H0 и принимается H1.

Поскольку -0.23>-2.977, то нулевая гипотеза не отвергается, по вероятности ошибки 0.01. Следовательно, средняя заработная плата до проведения реформ равна средней заработной плате после проведения реформ. Таким образом, проведенные реформы не привели к существенному росту благосостояния населения.

2 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ В СИСТЕМЕ MINITAB.

Для проведения проверки статистической гипотезы необходимо:

1) ввести данные.

2) из меню Stat > Basic Statistics выбрать тест, необходимый для проверки статистической гипотезы:

1-Sample z - тест используется при проверке статистической гипотезы о равенстве средней определенному значению в случае, когда известен закон распределения (известно среднеквадратическое отклонение).

1-Sample t - тест используется при проверке статистической гипотезы о равенстве средней определенному значению.

Согласно рисунку 2.1 заполняются окна ввода, где

Variables - переменные;

Confidence interval > level - 1-;

Test mean - тестируемое среднее;

Alternative - альтернативная гипотеза;

Grafs > Dotplot of data - точечный график.

Интерпретация полученных результатов.

Результаты вычислений приведены на рисунке 2.2, где

Varieble - переменная

Sigma - среднеквадратическое отклонение

N - число значений переменной в выборке

Mean - среднее значение,

StDev - стандартное отклонение.

SE Mean - средняя стандартизированная ошибка

T - расчетное значение нормированного нормального распределения

P - вероятность того, что случайная величина, имеющая t распределение, будет больше (по модулю в случае двустороннего теста), чем табличное значение t критерия. Если величина p меньше уровня значимости , то расчетное значение t

критерия по модулю будет больше, чем табличное значение. Следовательно, отвергается нулевая гипотеза и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости .

Таким образом, в случае машинной обработки для принятия решения используем следующее правило:

Если P < , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости .

Если P > , то альтернативная гипотеза отвергается и принимается нулевая при соответствующем уровне значимости .

2-Sample t - тест используется при проверке статистической гипотезы о равенстве средних двух выборок.

Согласно рисунку 2.1 заполняются окна ввода, где

Samples in different column - переменные введены в разные колонки;

First - указывается первая колонка;

Second - указывается вторая колонка;

Confidence interval > level - 1-;

Alternative - альтернативная гипотеза;

Grafs > Dotplot of data - точечный график.

Интерпретация полученных результатов.

Результаты вычислений приведены на рисунке 2.2, где

С1 и С2 - переменные

N - число значений переменной в выборке

Mean - среднее значение,

StDev - стандартное отклонение.

SE Mean - средняя стандартизированная ошибка

T - расчетное значение нормированного нормального распределения

P - вероятность того, что случайная величина, имеющая t распределение, будет больше (по модулю в случае двустороннего теста), чем табличное значение t критерия. Если величина p меньше уровня значимости , то расчетное значение t

критерия по модулю будет больше, чем табличное значение. Следовательно, отвергается нулевая гипотеза и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости .

3.ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ В MS EXEL

Для выполнения проверки статистических гипотез в Excel необходимо произвести расчеты и вычислить значение критерия Стьюдента.

Решение.

На первом этапе выдвигаются нулевая и альтернативная гипотезы:

H0:

H1: .

После чего необходимо определить табличное значение критерия Стьюдента. Для этого в меню «Вставка» выбирается команда «Функция». Устанавливается категория «Статистические» и выбирается функция «СТЬЮДРАСПРОБР». Пример заполнения окна для определения табличного значения критерия Стьюдента представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - Пример заполнения окна для определения табличного значения критерия Стьюдента

В поле «Вероятность» вводится заданный уровень значимости (), а так как альтернативная гипотеза имеет следующий вид: H1: , то необходимо применять двусторонний тест. При использовании двустороннего теста вместо значения берется значение /2 (для рассматриваемого примера /2=0,025).

В поле «Степени свободы» вводится значение, равное n-1, где n- число элементов в выборке.

Далее необходимо выполнить вычисления соответсвующего критерия (по формулам, приведенным выше)

После расчета критерия TR необходимо сравнить его значение с табличным, в соответствии с правилами, описанными выше и принять решение о принятии или отвержении нулевой гипотезы.

ЗАДАНИЕ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Задание 1. С целью изучения спроса на продукцию отделу маркетинга было поручено определить реализует ли предприятие в среднем за день продукцию на сумму 1,4 тыс. грн. Наблюдения велись 31 день. Результаты наблюдений представлены в форме таблицы 2. Полагая, что уровень значимости , определите: какой вывод сделает отдел маркетинга на основе статистической информации. Какой вывод сделал бы отдел маркетинга, если бы необходимо было проверить предположение, что ежедневно фирма реализует продукцию на сумму свыше 1 тыс. грн.

Таблица 4.1 - Исходные данные к заданию 1(данные представлены в грн.).

День

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1200

1435

658

1332

1520

880

912

753

2

1105

1340

563

1237

1425

785

817

658

3

1200

1435

658

1332

1520

880

912

753

4

1305

1540

763

1437

1625

985

1017

858

5

1206

1441

664

1338

1526

886

918

759

6

1540

1775

998

1672

1860

1220

1252

1093

7

1600

1835

1058

1732

1920

1280

1312

1153

8

900

1135

358

1032

1220

580

612

453

9

1000

1235

458

1132

1320

680

712

553

10

1345

1580

803

1477

1665

1025

1057

898

11

1200

1435

658

1332

1520

880

912

753

12

1400

1635

858

1532

1720

1080

1112

953

13

1450

1685

908

1582

1770

1130

1162

1003

14

1506

1741

964

1638

1826

1186

1218

1059

15

840

1075

298

972

1160

520

552

393

16

750

985

208

882

1070

430

462

303

17

700

935

158

832

1020

380

412

253

18

1100

1335

558

1232

1420

780

812

653

19

1450

1685

908

1582

1770

1130

1162

1003

20

1400

1635

858

1532

1720

1080

1112

953

21

1490

1725

948

1622

1810

1170

1202

1043

22

970

1205

428

1102

1290

650

682

523

23

970

1205

428

1102

1290

650

682

523

24

980

1215

438

1112

1300

660

692

533

25

900

1135

358

1032

1220

580

612

453

26

890

1125

348

1022

1210

570

602

443

27

1000

1235

458

1132

1320

680

712

553

28

1240

1475

698

1372

1560

920

952

793

29

1000

1235

458

1132

1320

680

712

553

30

1250

1485

708

1382

1570

930

962

803

31

1350

1585

808

1482

1670

1030

1062

903

Задание 2.

Руководитель фирмы с целью роста объемов сбыта установил систему премирования сотрудников, полагая, что объемы реализации продукции должны измениться. Проверьте предположение руководителя. Уровень значимости равен 5%.

Таблица 4.2 Исходные данные к заданию 2.

Филиал фирмы

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

1

855

956

546

550

890

640

680

230

2

795

880

500

490

800

640

545

780

3

810

860

482

480

450

700

600

650

4

931

900

490

498

500

450

700

700

5

830

749

530

538

350

470

560

600

6

710

708

600

610

700

540

860

560

7

790

810

650

650

890

900

600

800

8

830

890

620

640

640

800

540

450

9

879

897

593

599

600

740

500

560

10

798

819

562

580

640

700

650

560

11

765

786

589

580

540

760

760

700

12

856

789

562

560

550

500

450

580

13

799

903

570

600

600

650

900

690

14

789

761

590

620

600

700

870

720

Таблица 4.3 Вариант заданий к таблице 2.

Показатель

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Объемы реализации продукции до ввода системы премирования, тыс. грн.

x1

x1

x1

x1

x1

x1

x1

x2

x2

x2

x2

x2

x2

x3

x3

Объемы реализации продукции после ввода системы премирования, тыс. грн.

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x4

x5

Объемы реализации продукции до ввода системы премирования, тыс. грн.

x3

x3

x3

x4

x4

x4

x4

x5

x5

x5

x6

x6

x7

-

-

Объемы реализации продукции после ввода системы премирования, тыс. грн.

x6

x7

x8

x5

x6

x7

x8

x6

x7

x8

x7

x8

x8

-

-

Показатель

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

-

-

Вариант

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Изучить методические указания к выполнению работы.

Подготовить заготовку отчета по лабораторной работе: в соответствии с заданием сформулировать цель исследования; сформулировать гипотезы, которые необходимо проверить в ходе лабораторной работы.

Выполнить необходимые вычисления и результаты расчетов занести в отчет.

Интерпретировать полученные результаты.

Ответьте на контрольные вопросы.

6 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Что такое гипотеза?

Что такое уровень значимости?

Какие критерии используются при проверке гипотез?

Что такое критический уровень?

Сформулируйте правило принятия гипотез при помощи критерия Стьюдента?

От чего зависит табличное значение критерия Стьюдента?

БИБЛИОГРАФИЯ

Болч Б., Хуань К. Дж. Многомерные статистические методы для экономики/ Пер. с англ. А.Д. Плитмана; Под ред. и с предисл. С.А. Айвазяна. - М.: Статистика, 1979. - 317с.

Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. - 2-е изд. -М.: Статистика, 1979. - 447с.

Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцева В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИФРА-М, 1996 - 416с.

Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере/ Под ред. В.Э. Фигурнова - М.: ИНФРА-М, 1998 - 528с.

Sanders, Donald H. Statistics: a first course. - McGRAW-HILL, INC. - 5th ed., 1995. - 624p.

Заказать работу без рисков и посредников








Хочу скачать данную работу! Нажмите на слово скачать
Чтобы скачать работу бесплатно нужно вступить в нашу группу ВКонтакте. Просто кликните по кнопке ниже. Кстати, в нашей группе мы бесплатно помогаем с написанием учебных работ.

Через несколько секунд после проверки подписки появится ссылка на продолжение загрузки работы.
Сколько стоит заказать работу? Бесплатная оценка
Повысить оригинальность данной работы. Обход Антиплагиата.
Сделать работу самостоятельно с помощью "РЕФ-Мастера" ©
Узнать подробней о Реф-Мастере
РЕФ-Мастер - уникальная программа для самостоятельного написания рефератов, курсовых, контрольных и дипломных работ. При помощи РЕФ-Мастера можно легко и быстро сделать оригинальный реферат, контрольную или курсовую на базе готовой работы - Проверка статистических гипотез при помощи системы "Minitab" для Windows.
Основные инструменты, используемые профессиональными рефератными агентствами, теперь в распоряжении пользователей реф.рф абсолютно бесплатно!
Как правильно написать введение?
Подробней о нашей инструкции по введению
Секреты идеального введения курсовой работы (а также реферата и диплома) от профессиональных авторов крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно сформулировать актуальность темы работы, определить цели и задачи, указать предмет, объект и методы исследования, а также теоретическую, нормативно-правовую и практическую базу Вашей работы.
Как правильно написать заключение?
Подробней о нашей инструкции по заключению
Секреты идеального заключения дипломной и курсовой работы от профессиональных авторов крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно сформулировать выводы о проделанной работы и составить рекомендации по совершенствованию изучаемого вопроса.
Всё об оформлении списка литературы по ГОСТу Как оформить список литературы по ГОСТу?
Рекомендуем
Учебники по дисциплине: Экономико-математическое моделирование







методичка по предмету Экономико-математическое моделирование на тему: Проверка статистических гипотез при помощи системы "Minitab" для Windows - понятие и виды, структура и классификация, 2017, 2018-2019 год.



Заказать реферат (курсовую, диплом или отчёт) без рисков, напрямую у автора.

Похожие работы:

Воспользоваться поиском



Скачать работу: Проверка статистических гипотез при помощи системы "Minitab" для Windows, 2019 г.

Перейти в список рефератов, курсовых, контрольных и дипломов по
         дисциплине Экономико-математическое моделирование