Главная » Рефераты » Текст работы «Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики»
Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики
Дисциплина: | Экономико-математическое моделирование |
|
Вид работы: | реферат | |
Язык: | русский | |
Дата добавления: | 20.06.2005 | |
Размер файла: | 568 Kb | |
Просмотров: | 2622 | |
Загрузок: | 16 |
![]() |
Все приложения, графические
материалы, формулы, таблицы и рисунки работы на тему: Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики (предмет: Экономико-математическое моделирование)
находятся в архиве, который можно скачать с нашего сайта.
|
50
Теоретические основы специальности.Оптимизационные методы решения экономических задач. Классическая постановка задачи оптимизации. Оптимизация функций. Оптимизация функционалов. Общая постановка задачи.К экономическим задачам оптимизационного типа относятся задачи, в которых требуется найти наилучшее или оптимальное решение при заданных условиях производства. Такие задачи называются задачами на максимум или минимум. Особенностью задач оптимизационного типа является многовариантность их решений, обусловленная следующими причинами: взаимозаменяемостью ресурсов; взаимозаменяемостью готовых видов продукции; существованием альтернативных технологий производства; неодинаковостью технико-экономических показателей даже однотипных хозяйственных субъектов. Возможны два подхода к постановке оптимизационных задач: при первом подходе требуется получить максимальные конечные результаты при заданных условиях производства; при втором подходе требуется получить заданные конечные результаты при минимальных затратах ресурсов.Математический инструментарий, позволяющий решать экономические задачи оптимального типа, называется программированием. Различают линейное и нелинейное программирование. На практике наибольшее распространение получило линейное программирование.Методы линейного программирования в математике известны под названием общей задачи линейного программирования. Аналитическая формулировка общей задачи линейного программированияОбщая задача линейного программирования формулируется следующим образом:Найти решение {Х1,Х2,….Хn}, позволяющее максимизировать или минимизировать целевую функциюF = C1X1+C2X2+…+ CnXnпри условиях Х1?0; Х2?0; …; Хn?0.Это развернутая запись общей задачи линейного программирования.Сокращенная запись этой модели имеет вид: Найти решение {Xj}, позволяющее максимизировать (минимизировать) функцию при условиях , i = 1,2,…,n; Xj ? 0, j = 1,2,…,n. Вышеприведенные записи общей задачи линейного программирования называют аналитической формой записи.Любое решение, удовлетворяющее условиям, называется допустимым решением. Допустимое решение систем неравенств, удовлетворяющее целевой функции, называется оптимальным решением. Такое решение единственно при заданных условиях. Матричная форма записи общей задачи линейного программированияпри ограничениях AX?B X?0, где С = (с1, с2,…, сn); где С - матрица-строка А - матрица системы Х - матрица-столбец переменных В - матрица-столбец свободных членовВекторная форма записи общей задачи линейного программированияF = CX > max (min)при ограниченияхХ?0,где СХ - скалярное произведение векторов С = (С1, С2, …, Сn) и Х = (х1, х2, …, хn), векторы состоят соответственно из коэффициентов при переменных и свободных членов.(про функционал)В общем случае задача оптимизации формулируется как задача отыскания max или min значения I(v) для .Под решением такой задачи понимается такое , что для остальных элементов выполняется неравенство или в зависимости от требований задачи. При этом: v - некоторая функцияI(v) - функционал вида Многокритериальная оптимизация. Методы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной. Метод уступок. Методы определения уровня предпочтений. Способы поиска паретовского множества альтернатив.Многокритериальная оптимизация представляет собой минимизацию некого вектора целей F(x), на которой могут быть наложены дополнительные ограничения или предельные значения:(3-47) |
(3-48) |
, где при условии | (3-49) |
(3-51) |
(3-52) |
(3-53) |
f(x[k] -akf'(x[k])) = f(x[k] - af'(x[k])).Это условие означает, что движение вдоль антиградиента происходит до тех пор, пока значение функции f(x) убывает. С математической точки зрения на каждой итерации необходимо решать задачу одномерной минимизации по а функции
j(a) = f(x[k] - af'(x[k])) .Алгоритм метода наискорейшего спуска состоит в следующем.1. Задаются координаты начальной точки х[0].2. В точке х[k], k = 0, 1, 2, ... вычисляется значение градиента f'(x[k]).3. Определяется величина шага ak, путем одномерной минимизации по а функции j(a) = f(x[k] - af'(x[k])).4. Определяются координаты точки х[k+1]:хi[k+1] = xi[k] - аkf'i(х[k]), i = 1 ,..., п.5. Проверяются условия останова стерационного процесса. Если они выполняются, то вычисления прекращаются. В противном случае осуществляется переход к п. 1.В рассматриваемом методе направление движения из точки х[k] касается линии уровня в точке x[k+1] (Рис. 2.9). Траектория спуска зигзагообразная, причем соседние звенья зигзага ортогональны друг другу. Действительно, шаг ak выбирается путем минимизации по а функции ц(a) = f(x[k] - af'(x[k])). Необходимое условие минимума функции dj(a)/da = 0. Вычислив производную сложной функции, получим условие ортогональности векторов направлений спуска в соседних точках:dj(a)/da = -f'(x[k+1]f'(x[k]) = 0.Градиентные методы сходятся к минимуму с высокой скоростью (со скоростью геометрической прогрессии) для гладких выпуклых функций. У таких функций наибольшее М и наименьшее m собственные значения матрицы вторых производных (матрицы Гессе)мало отличаются друг от друга, т. е. матрица Н(х) хорошо обусловлена. Напомним, что собственными значениями li, i =1, …, n, матрицы являются корни характеристического уравненияПри этом на практике, как правило, минимизируемые функции имеют плохо обусловленные матрицы вторых производных (т/М << 1). Значения таких функций вдоль некоторых направлений изменяются гораздо быстрее (иногда на несколько порядков), чем в других направлениях. Их поверхности уровня в простейшем случае сильно вытягиваются, а в более сложных случаях изгибаются и представляют собой овраги. Функции, обладающие такими свойствами, называют овражными. Направление антиградиента этих функций (см. Рис. 2.10) существенно отклоняется от направления в точку минимума, что приводит к замедлению скорости сходимости.Метод сопряженных градиентовРассмотренные выше градиентные методы отыскивают точку минимума функции в общем случае лишь за бесконечное число итераций. Метод сопряженных градиентов формирует направления поиска, в большей мере соответствующие геометрии минимизируемой функции. Это существенно увеличивает скорость их сходимости и позволяет, например, минимизировать квадратичную функциюf(x) = (х, Нх) + (b, х) + ас симметрической положительно определенной матрицей Н за конечное число шагов п , равное числу переменных функции. Любая гладкая функция в окрестности точки минимума хорошо аппроксимируется квадратичной, поэтому методы сопряженных градиентов успешно применяют для минимизации и неквадратичных функций. В таком случае они перестают быть конечными и становятся итеративными.По определению, два n-мерных вектора х и у называют сопряженными по отношению к матрице H (или H-сопряженными), если скалярное произведение (x, Ну) = 0. Здесь Н - симметрическая положительно определенная матрица размером пхп.Одной из в наибольшей мересущественных проблем в методах сопряженных градиентов является проблема эффективного построения направлений. Метод Флетчера-Ривса решает эту проблему путем преобразования на каждом шаге антиградиента -f(x[k]) в направление p[k], H-сопряженное с ранее найденными направлениями р[0], р[1], ..., р[k-1]. Рассмотрим сначала этот метод применительно к задаче минимизации квадратичной функции.Направления р[k] вычисляют по формулам:p[k] = -f'(x[k])+bk-1p[k-l], k >= 1;p[0] = -f'(x[0]).Величины bk-1 выбираются так, чтобы направления p[k], р[k-1] были H-сопряженными:(p[k], Hp[k-1])= 0. В результате для квадратичной функции,итерационный процесс минимизации имеет вид x[k+l] =x[k] +akp[k],где р[k] - направление спуска на k-м шаге; аk - величина шага. Последняя выбирается из условия минимума функции f(х) по а в направлении движения, т. е. в результате решения задачи одномерной минимизации:f(х[k] + аkр[k]) = f(x[k] + ар [k]).Для квадратичной функцииАлгоритм метода сопряженных градиентов Флетчера-Ривса состоит в следующем.1. В точке х[0] вычисляется p[0] = -f'(x[0]).2. На k-м шаге по приведенным выше формулам определяются шаг аk. и точка х[k+1].3. Вычисляются величины f(x[k+1]) и f'(x[k+1]).4. Если f'(x[k+1]) = 0, то точка х[k+1] является точкой минимума функции f(х). В противном случае определяется новое направление p[k+l] из соотношенияи осуществляется переход к следующей итерации. Эта процедура найдет минимум квадратичной функции не более чем за п шагов. При минимизации неквадратичных функций метод Флетчера-Ривса из конечного становится итеративным. В таком случае после (п+1)-й итерации процедуры 1-4 циклически повторяются с заменой х[0] на х[п+1] , а вычисления заканчиваются при , где - заданное число. При этом применяют следующую модификацию метода:x[k+l] = x[k] +akp[k], p[k] = -f'(x[k])+bk-1p[k-l], k >= 1;p[0] = -f'(x[0]);f(х[k] + akp[k]) = f(x[k] + ap[k];.Здесь I- множество индексов: I = {0, n, 2п, Зп, ...}, т. е. обновление метода происходит через каждые п шагов.Геометрический смысл метода сопряженных градиентов состоит в следующем (Рис. 2.11). Из заданной начальной точки х[0] осуществляется спуск в направлении р[0] = -f'(x[0]). В точке х[1] определяется вектор-градиент f'(x [1]). Поскольку х[1] является точкой минимума функции в направлении р[0], то f'(х[1]) ортогонален вектору р[0]. Затем отыскивается вектор р [1], H-сопряженный к р [0] . Далее отыскивается минимум функции вдоль направления р[1] и т. д.Рис. 2.11. Траектория спуска в методе сопряженных градиентовМетоды сопряженных направлений являются одними из в наибольшей мереэффективных для решения задач минимизации. При этом следует отметить, что они чувствительны к ошибкам, возникающим в процессе счета. При большом числе переменных погрешность может настолько возрасти, что процесс придется повторять даже для квадратичной функции, т. е. процесс для нее не всегда укладывается в п шагов.Выпуклая оптимизация. Условие выпуклости. Субградиентный метод выпуклой оптимизации. Метод растяжения пространства. Метод эллипсоидов.Основная задача выпуклого программированияПусть задано выпуклое и замкнутое множество . Рассмотрим множество={}, =(,…,), .где () -- вогнутые (выпуклые вверх) непрерывные на скалярные функции. В теории математического программирования каждый элемент принято называть допустимым планом, а само множество -- множеством допустимых планов.Формальная постановка задачи выпуклого программированияЗадачу,где выпукла, а определяется вышеприведенными условиями, называется основной задачей выпуклого программирования.Определение означает, что ставится задача:Если существует минимальное значение функции на множестве , то среди всех допустимых планов найти оптимальный план , для которого==при всём этом число называют значением задачи.Если оптимального плана не существует, то требуется· либо найти значение задачи как точную нижнюю грань значений функции на множестве : =· либо убедиться, что неограничена снизу на множестве ;· либо убедиться в том, что множество допустимых планов пусто.Для решения предложенной оптимизационной задачи следует выполнить следующие действия:· Определить множество .· Определить вектор-функцию =(,…,) и вектор .· Определить множество допустимых планов ={}.· Привести задачу к стандартной форме основной задачи выпуклого программирования и определить оптимизируемую функцию .· Проверить, является ли полученная оптимизационная задача ЗВП, для этого· проверить на выпуклость множество ;· проверить на выпуклость функцию .В случае успеха п. 5· Построить функцию Лагранжа полученной ЗВП.· С помощью дифференциальных условий Куна-Таккера найти седловые точки построенной функции Лагранжа.В случае неудачи п. 5 попытаться найти другие методы решения задачи.Методы субградиентной оптимизации. Эти итеративные процедуры формируют последовательность векторов {lk}. Начиная с некоторого начального значения l0 эти вектора меняются по следующему правилуlk+1 = lk + tk (A xk - b),где xk -- оптимальное решение задачи , а tk -- размер шага. Фундаментальный теоретический результат заключается в том, что [14]. Размер шага на практике обычно выбирают, следуя [11],где q k -- скаляр, 0 < q k 2 и z* -- верхняя граница для n(D). Обычно z* получают эвристикой для P. В методе ветвей и границ z* -- текущий рекорд. Последовательность q k, как правило, начинается с q 0=2 и затем q k делится пополам, через фиксированное число итераций, зависящее от размерности задачи.Элементы функционального анализа. Метрические, линейные и нормированные пространства. Эвклидово пространство. Гильбертово пространство. Линейные операторы и функционалы в линейных нормированных пространствахФункциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при всём этом выяснилось, что язык Ф. а. в наибольшей мереадекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.1. Линейные пространства. Базис Одно из основных понятий современной математики - линейное пространство. Пусть L - некоторое множество объектов произвольной природы, а C - множество комплексных чисел. Множество L называют линейным пространством, если на нем определены две операции: 1) операция сложения любых двух элементов этого множества и 2) операция умножения элементов этого множества на комплексное число, причем эти операции удовлетворяют некоторым естественным аксиомам. Более точно: Определение. Множество L называется линейным пространством над полем комплексных чисел C, если 1. каждой паре элементов x, y из этого пространства поставлен в соответствие элемент z этого пространства, называемый суммой элементов x и y (обозначение: ); 2. каждому элементу x из L и каждому комплексному числу поставлен в соответствие элемент из L, называемый произведением и x (и обозначаемый или x); 3. указанные операции удовлетворяют следующим аксиомам: 4. для любых , 5. для любых , 6. существует "нулевой" элемент , такой, что для любого , 7. для каждого существует "противоположный" ему элемент , такой, что , 8. для любого , 9. для любого и любых , 10. для любого и любых , 11. для любого и любых . Подчеркнем, что перечисленные аксиомы являются естественным обобщением хорошо известных свойств сложения и умножения чисел, сложения векторов и их умножения на число и т.д. Иногда рассматривают линейное пространство не над полем комплексных, а над полем действительных чисел R (т.е. вместо операции умножения на комплексные числа рассматривается операция умножения на действительные числа). Аксиомы линейного пространства при всём этом не меняются. Приведем некоторые типичные примеры линейных пространств. Пример 1. Линейное пространство векторов на плоскости (или в трехмерном пространстве) с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Нулевым элементом является нулевой вектор. Пример 2. Линейное пространство всевозможных последовательностей комплексных чисел с операциями . Нулевой элемент - последовательность (0, 0, ..., 0, ...). Пусть теперь - некоторые элементы линейного пространства L, а - произвольные комплексные (или действительные) числа. Элемент пространства L, равный , называется линейной комбинацией элементов . Определение. Система (набор) элементов пространства L называется линейно независимой, если линейная комбинация равна нулевому элементу пространства только в случае . Иными словами, система называется линейно независимой, если из равенства следует, что . Определение. Система элементов пространства L называется линейно зависимой, если равенство выполнено при некотором наборе констант , хотя бы одна из которых отлична от нуля. Таким образом, система называется линейно зависимой, если она не является линейно независимой. Определение. Линейное пространство имеет размерность n (или, коротко, n-мерно), если в нем найдется n линейно независимых элементов, но любые (n+1) элемент линейно зависимы. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем можно указать любое наперед заданное число линейно независимых элементов.Определение. Система элементов линейного пространства называется базисом этого пространства, если любой элемент этого пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации элементов этой системы. Как мы убедились, в n-мерном пространстве любая линейно независимая система из n элементов образует базис. Определение. Множество M называется метрическим пространством, если каждым двум элементам x, y этого множества поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое и называемое расстоянием между элементами x и y, причем выполнены следующие аксиомы: 1. для любых , причем в том и только в том случае, когда ; 2. для любых ; 3. для любых . Если x, y - два фиксированных элемента множества M, то есть действительное число, однако, полагая x и y равными всевозможным элементам множества M, получим, что является функцией двух переменных x, y. Эта функция называется метрикой данного пространства. Определение. Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу x этого пространства поставлено в соответствие действительное число (норма x ), причем выполнены следующие аксиомы: 1. для любого x, причем тогда и только тогда, когда ; 2. для любого x и любого комплексного ; 3. для любых x, y из данного пространства. Для линейных пространств над полем действительных чисел также вводится понятие нормированного пространства с теми же аксиомами. Неравенство, фигурирующее в третьей аксиоме, называется неравенством Минковского. Простейшими примерами нормированных пространств могут служить множества действительных чисел R и комплексных чисел C, где в качестве нормы числа рассматривается его модуль, а также пространство векторов на плоскости (или в пространстве) с нормой, равной длине вектора. В пространстве непрерывных функций на (действительном или комплексном) норму можно ввести, например, следующими способами: , . Отметим теперь следующий важный факт. В любом линейном нормированном пространстве можно ввести метрику следующим образом: При этом выполнение первой аксиомы метрического пространства следует из первой аксиомы нормированного пространства. Выполнение второй аксиомы также очевидно: . Наконец, выполнение третьей аксиомы метрического пространства следует из неравенства Минковского: Итак, любое линейное нормированное пространство можно сделать метрическим пространством указанным выше естественным способом (так, указанные нами нормы в пространстве непрерывных функций порождают соответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают пространства и соответственно). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не в любом метрическом пространстве можно ввести норму, поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой. При этом, если метрическое пространство наделено линейной структурой (является линейным пространством), то его всегда можно сделать нормированным, введя норму Пусть -- вещественное -мерное пространство, в котором задан базис . Тогда векторы и из задаются своими координатами: Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно , задается формулой
(18.3) |
В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому ортонормированным в -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (18.3). Если , -- координатные столбцы векторов и , то скалярное произведение можно задать формулой Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3) Определение 18.5 Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством. В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Определение 18.6 Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Определение 18.7 Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством. В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи Гильбертово пространство, математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие «Г. п.» находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики. Первоначально Г. п. понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т.н. пространство l2). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности x = (x1, x2,..., xn,...) такие, что ряд x21 + x22 +... + х2n + ... сходится. Сумму двух векторов х + y и вектор lx, где l -- действительное число, определяют естественным образом: x + y = (x1 + y1,..., xn + yn,...), lx = (lx1, lx2, ..., lxn,...)/ Для любых векторов х, y О l2 формула (x, y) = x1y1 + x2y2 + ... +xnyn + ... определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству |(х, у)| Ј ||x|| ||y||. Последовательность векторов хn называется сходящейся к вектору х, если ||хn--х|| ® 0 при n ® Ґ. Многие определения и факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Г. п. Например, формула где 0 Ј j Ј p определяет угол j между векторами х и у. Два вектора х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Пространство l2 полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этого пространства (т.е. последовательность хn, удовлетворяющая условию ||хп--хm||® 0 при n, m ® Ґ) имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Г. п. l2 бесконечномерно, т.е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему образуют единичные векторы e1 = (1, 0, 0,...), e2 = (0, 1, 0,...),... При этом для любого вектора x из l2 имеет место разложение x = x1e1 + x2e2 +... (1) по системе {en}.Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X, Y -- линейные пространства; отображение A: X ® Y называется линейным, если для x, у О X, l, m О ,где x1,..., xn и (Ax)1,..., (Ax) n -- координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L2 (а, b) в него же оператор (где K (t, s) -- ограниченная функция -- ядро А) -- непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C1(a, b) М L2(a, b) оператор дифференцирования является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).Линейный функционал, обобщение понятия линейной формы на линейные пространства. Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами: 1) f(x) линейна, т. е. f((x + (у) = (f(x) + (f(y), где х и у -- любые элементы из Е, a и b -- числа; 2) f(x) непрерывна. Непрерывность f равносильна требованию, чтобы было ограничено в Е; выражение называют нормой f и обозначают . В пространстве С [a, b] функций a(t), непрерывных при a ( t ( b, с нормой Л. ф. являются, например, выражения: , f2[((t)] = ((t0), a ( t0 ( b. В гильбертовом пространстве Н Л. ф. суть скалярные произведения (l, х), где l -- любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства. Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах. Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство , если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство называют сопряжённым к ; это пространство играет большую роль при изучении Е. С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если Моделирование как метод научного познания. Понятия модели и моделирования. Элементы и этапы процесса моделирования. Виды моделирования. Особенности математического моделирования экономических объектов. Производственно-технологический и социально-экономический уровни экономико-математического моделирования. Особенности экономических наблюдений и измерений. Случайность и неопределенность в экономико-математическом моделировании. Проверка адекватности моделей.Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. При этом методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.Процесс моделирования включает три элемента: · субъект (исследователь), · объект исследования, · модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение "модельных" экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели.На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.Уже длительное время главным тормозом практического применения математического моделирования в экономике является наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей. С другой стороны, исследования по моделированию экономики выдвигают новые требования к системе информации.В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: о прошлом развитии и современном состоянии объектов (экономические наблюдения и их обработка) и о будущем развитии объектов, включающую данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться посредством моделирования.Методы экономических наблюдений и использования результатов этих наблюдений разрабатываются экономической статистикой. Поэтому стоит отметить только специфические проблемы экономических наблюдений, связанные с моделированием экономических процессов.В экономике многие процессы являются массовыми; они характеризуются закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения.Другая проблема порождается динамичностью экономических процессов, изменчивостью их параметров и структурных отношений. Вследствие этого экономические процессы приходится постоянно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток новых данных. Поскольку наблюдения за экономическими процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много времени, то при построении математических моделей экономики требуется корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания.Познание количественных отношений экономических процессов и явлений опирается на экономические измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов количественного анализа посредством моделирования. Поэтому необходимым условием эффектного использования математического моделирования является совершенствование экономических измерителей. Применение математического моделирования заострило проблему измерений и количественных сопоставлений различных аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности и полноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.В процессе моделирования возникает взаимодействие "первичных" и "вторичных" экономических измерителей. Любая модель народного хозяйства опирается на определенную систему экономических измерителей (продукции, ресурсов, элементов и т.д.). В то же время одним из важных результатов народнохозяйственного моделирования является получение новых (вторичных) экономических измерителей - экономически обоснованных цен на продукцию различных отраслей, оценок эффективности разнокачественных природных ресурсов, измерителей общественной полезности продукции. При этом эти измерители могут испытывать влияние недостаточно обоснованных первичных измерителей, что вынуждает разрабатывать особую методику корректировки первичных измерителей для хозяйственных моделей.С точки зрения "интересов" моделирования экономики сегодня в наибольшей мереактуальными проблемами совершенствования экономических измерителей являются: оценка результатов интеллектуальной деятельности (особенно в сфере научно-технических разработок, индустрии информатики), построение обобщающих показателей социально-экономического развития, измерение эффектов обратных связей (влияние хозяйственных и социальных механизмов на эффективность производства).Для методологии планирования экономики важное значение имеет понятие неопределенности экономического развития. В исследованиях по экономическому прогнозированию и планированию различают два типа неопределенности: "истинную", обусловленную свойствами экономических процессов, и "информационную", связанную с неполнотой и неточностью имеющейся информации об этих процессах. Истинную неопределенность нельзя смешивать с объективным существованием различных вариантов экономического развития и возможностью сознательного выбора среди них эффективных вариантов. Речь идет о принципиальной невозможности точного выбора единственного (оптимального) варианта.В развитии экономики неопределенность вызывается двумя основными причинами. Во-первых, ход планируемых и управляемых процессов, а также внешние воздействия на эти процессы не могут быть точно предсказуемы из-за действия случайных факторов и ограниченности человеческого познания в каждый момент. Особенно характерно это для прогнозирования научно-технического прогресса, потребностей общества, экономического поведения. Во-вторых, общего сударственное планирование и управление не только не всеобъемлющи, но и не всесильны, а наличие множества самостоятельных экономических субъектов с особыми интересами не позволяет точно предвидеть результаты их взаимодействий. Неполнота и неточность информации об объективных процессах и экономическом поведении усиливают истинную неопределенность. На первых этапах исследований по моделированию экономики применялись в основном модели детерминистского типа. В этих моделях все параметры предполагаются точно известными. При этом детерминистские модели неправильно понимать в механическом духе и отождествлять их с моделями, которые лишены всех "степеней выбора" (возможностей выбора) и имеют единственное допустимое решение. Классическим представителем жестко детерминистских моделей является оптимизационная модель народного хозяйства, применяемая для определения наилучшего варианта экономического развития среди множества допустимых вариантов.В результате накопления опыта использования жестко детерминистских моделей были созданы реальные возможности успешного применения более совершенной методологии моделирования экономических процессов, учитывающих стохастику и неопределенность. Здесь можно выделить два основных направления исследований. Во-первых, усовершенствуется методика использования моделей жестко детерминистского типа: проведение многовариантных расчетов и модельных экспериментов с вариацией конструкции модели и ее исходных данных; изучение устойчивости и надежности получаемых решений, выделение зоны неопределенности; включение в модель резервов, применение приемов, повышающих приспособляемость экономических решений к вероятным и непредвидимым ситуациям. Во-вторых, получают распространение модели, непосредственно отражающие стохастику и неопределенность экономических процессов и использующие соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей и математическую статистику, теорию игр и статистических решений, теорию массового обслуживания, стохастическое программирование, теорию случайных процессов.Сложность экономических процессов и явлений и другие отмеченные выше особенности экономических систем затрудняют не только построение математических моделей, но и проверку их адекватности, истинности получаемых результатов.В естественных науках достаточным условием истинности результатов моделирования и любых других форм познания является совпадение результатов исследования с наблюдаемыми фактами. Категория "практика" совпадает здесь с категорией "действительность". В экономике и других общественных науках понимаемые таким образом принцип "практика - критерий истины" в большей степени применим к простым дескриптивным моделям, используемым для пассивного описания и объяснения действительности (анализа прошлого развития, краткосрочного прогнозирования неуправляемых экономических процессов и т.п.).При этом главная задача экономической науки конструктивна: разработка научных методов планирования и управления экономикой. Поэтому распространенный тип математических моделей экономики - это модели управляемых и регулируемых экономических процессов, используемые для преобразования экономической действительности. Такие модели называются нормативными. Если ориентировать нормативные модели только на подтверждение действительности, то они не смогут служить инструментом решения качественно новых социально-экономических задач.Специфика верификации нормативных моделей экономики состоит в том, что они, как правило, "конкурируют" с другими, уже нашедшими практическое применение методами планирования и управления. При этом далеко не всегда можно поставить чистый эксперимент по верификации модели, устранив влияние других управляющих воздействий на моделируемый объект. Ситуация еще более усложняется, когда ставится вопрос о верификации моделей долгосрочного прогнозирования и планирования (как дескриптивных, так и нормативных). Ведь нельзя же 10-15 лет и более пассивно ожидать наступления событий, чтобы проверить правильность предпосылок модели.Несмотря на отмеченные усложняющие обстоятельства, соответствие модели фактам и тенденциям реальной экономической жизни остается важнейшим критерием, определяющим направления совершенствования моделей. Всесторонний анализ выявляемых расхождений между действительностью и моделью, сопоставление результатов по модели с результатами, полученными иными методами, помогают выработать пути коррекции моделей.Значительная роль в проверке моделей принадлежит логическому анализу, в том числе средствами самого математического моделирования. Такие формализованные приемы верификации моделей, как доказательство существования решения в модели, проверка истинности статистических гипотез о связях между параметрами и переменными модели, сопоставления размерности величин и т.д., позволяют сузить класс потенциально "правильных" моделей.Внутрення непротиворечивость предпосылок модели проверяется также путем сравнения друг с другом получаемых с ее помощью следствий, а также со следствиями "конкурирующих" моделей.Оценивая современное состояние проблемы адекватности математических моделей экономике, следует признать, что создание конструктивной комплексной методики верификации моделей, учитывающей как объективные особенности моделируемых объектов, так и особенности их познания, по-прежнему является одной из в наибольшей мереактуальных задач экономико-математических исследований.Основы оптимального управления. Экономические процессы и их формализованное представление. Управление и управляющие воздействия. Общая постановка задачи оптимального управления.Рассмотрим общую постановку задачи оптимизации экономических систем. Пусть имеется система, состояние которой может изме-ниться в результате некоторого количества управляющих воздействий. Задавая эти воздействия, можно получить определенный процесс изменения состояния си-стемы. При этом возникают две задачи: первая предполагает выбор таких воздействий на систему, чтобы проис-ходящий процесс удовлетворял заданным условиям, такие процессы принято называть допустимыми), вторая задача - выбор из этого множества допустимых процессов наилучшего (оптимального) процесса.Чтобы решать оптимизационные задачи с помощью мате-матических методов, нужно сформулировать на математическом языке рассматриваемые процессы, ограничения, накладываемые на состояние системы и управляющие воздействия, а так же записать математические модели, описывающие эти процессы. Введем некоторые понятия и обозначения. Рассмотрим множество М с эле-ментами v, где v - пары вида v=(x, у), , , - некоторые заданные множества. Проек-цией множества М на множество Х назовем подмножество Мx, обладающее тем свойством, что для каждого существу-ет такой элемент , что пара содержится в мно-жестве М.Введем понятие сечения Мx множества М при данном x. Сечением Мx будем называть множество всех y, при которых пара принадлежит множеству М.Введем понятие функционала, являющегося одним из главных в задачах оптимального управления. Будем говорить, что на мно-жестве М задан функционал F , если известно правило, которое каждому элементу ставит в соответствие определенное действительное число F(v). В общем виде задача оптимизации формулируется как задача отыскания минимального (или максимального) значения функ-ционала F(v) на множестве М.Предположим, что требуется минимизировать функционал F(v) на множестве М. Если решение этой задачи существует (обозначим его через ), то называется опти-мальным элементом множества M, а величина - оптимальным значением функционала. Решения поставленной задачи F и будем записывать следующим образом:.Аналогично формулируется задача о нахождении максималь-ного значения функционала. Введем понятия точной нижней и верхней границы функцио-нала. Точной нижней границей функционала на множестве М назовем такое число т, если:1) для любого ;2) существует последовательность , на которой .Точная нижняя граница функционала обозначается.Последовательность {vs} называется минимизирующей последовате-ль-ностью.Точно так же определяется точная верхняя граница n функ-ционала :Назовем функционал ограниченным снизу (сверху) на множестве М, если существует такое число A, что при всех (). Если функционал является ограниченным снизу (сверху), то решение задачи о нахождении его точной нижней (верхней) границы существует, т. е. имеет место следую-щая теорема (приведем без доказательства): Пусть на множестве М задан ограниченный снизу функционал . Тогда реализуется одна из двух возможностей:1) Существуют элемент и число , при которых и при всех . 2) Существуют последовательность элементов множе-ства М и число , удовлетворяющее условиям , и при всех .Данная теорема имеет важное значение для понимания сущности задачи оптимизации по двум причинам. Во-первых, она говорит о том, что постановка задачи об отыскании наименьшего (наибольшего) значения ограниченного снизу (сверху) функционала имеет смысл. Во-вторых, она объясняет природу решения такой задачи. А именно: решением будет либо определенный элемент множества М, минимизирующий (максимизирующий) функци-онал , либо последовательность элементов множества М, являющаяся миними-зи-рующей (максимизирующей) последо-вательностью. В первом случае можно говорить о точном решении задачи, а во втором - о приближенном.Задачи оптимизации управляемых процессов (оптимального управления) являются частными по отношению к сформулированной выше общей задаче оптимизации. Рассмотрим постанову задач оптимального управления.Введем некоторые понятия.Важнейшими из них являются понятия состояния системы и управления. Будем рассматривать системы, состояние которых может быть в любой момент времени определено вектором х n-мерного пространства с координатами . Пространст-во Х будем называть пространством состояний системы.Так как система изменяется во времени, то ее поведение можно описать последовательностью состояний. Такую последовательность системы называют ее траекторией.Переменная t (называется аргу-ментом процесса) может быть некоторым отрезком числовой прямой () или отрезком натурального ряда (). В первом случае процесс, происходящий в системе, называется непрерывным, во втором случае - многошаговым, а системы - соот-ветственно непрерывными и дискретными.Изменение состояния системы, т. е. процесс в ней, может происходить в результате управляющих воздействий. Будем рассматривать системы, управляющие воздействия в которых моделируются с помощью элементов r-мерного про-странства U:, .Управляющие воздействия могут задаваться в виде функций от t, т.е. . На допустимые состояния системы и управ-ления могут быть наложены ограничения. Рассмотрим множество троек - совокупность - мерных векто-ров в пространстве . Тогда ограничения на состояние системы и управление в самом общем случае могут быть записаны в виде,где - некоторая область (подмножество) рассматривае-мого - мерного пространства. Ограничения на величины , в каждый фиксированный момент времени t могут быть заданы и в виде,где Vt - сечение множества V при заданном значении t.Пару функций назовем процессом. Между функ-циями имеется связь: как только задано управление системой, последовательность ее состояний (траектория системы) определяется однозначно. Связь между и моделируется по-разному в зависимости от того, является система непрерывной или дискретной.Для непрерывных систем модели процессов задаются системой дифференциальных уравнений вида , или в векторной форме. (4.2.1)Пусть задано состояние, в котором система находилась в начальный момент . Для простоты этот момент примем равным нулю, а момент окончания процесса - равным Т. Тогда аргумент процесса t изменяется в пределах , а начальным состоянием системы будет вектор, (4.2.2)где - начальное значение i-й координаты вектора со-стояния системы.Проанализируем, каким образом модель отражает связь между управлениями и состоянием системы, изменяющимся под их воздействием. Пусть на промежутке задано управление . Подставляя его в правую часть системы (4.2.3), получим (4.2.3)Имеем систему дифференциальных уравнений относительно неиз-вестной функции . Решая ее с учетом начальных условий (4.2.2), получим . Это решение и есть траектория, отвечающая заданному управлению . Модель дискретной управляемой системы имеет вид системы рекуррентных уравнений: , .В векторной форме эту модель можно записать в виде , (4.2.4)Здесь t принимает значение . Начальное зна-чение будем считать известным.В дискретной системе, как и в непрерывной, задание управляющих воздействий при позволяет однозначно определить отвечающую им траекторию системы. При подстановке значения u(t) в правую часть (4.2.4) получаем систему уравнений, которая позволяет при известном значении состояния в момент времени t определить состояние в следующий момент времени. Так как в начальный момент состояние известно, то, подставив его в правую часть (4.2.4), получим.Подставляя затем найденное значение и в (4.2.4), так же найдем значение . Продолжая этот процесс, через Т шагов получим последнее искомое значение .Таким образом, и в дискретном случае уравнения модели (4.2.4) позволяют однозначно определить траекторию системы , если задано управление .Следовательно, процесс должен удовлетворять следующим ограничениям:1) при всех ;2) Пара удовлетворяет системе уравнений процесса:а) системе (4.2.1) в непрерывном случае при ;б) системе (4.2.4) в дискретном случае при ;3) Заданы начальные условия (4.2.2);4) В непрерывном случае на функции , накла-дываются некоторые дополнительные ограничения, связанные с применимостью употребляемых здесь математических записей. Функцию будем считать кусочно-непрерывной, а век-тор-функцию - непрерывной и кусочно-дифференцируемой.Процессы , удовлетворяющие условиям 1) - 4), будем называть допустимыми. Таким образом, допустимый процесс - это управляющие воздействия и соответствующая им траектория системы , удовлетворяющие перечисленным ограничениям.Для постановки оптимизационной задачи необходимо ввести в рассмотрение функционал F, задан-ный на множестве М. Задача оптимального управления будет состоять в выборе элемента множества M, на котором функционал F достигает минимального значения. Такой процесс называют оптимальным процессом, управление - оптимальным управлением, а траекторию оптималь-ной траекторией.Функционал F, заданный на множестве допустимых процессов, описывает цель, согласно которой оптимизируется процесс.В задачах оптимального управления для непрерывных систем будем рассматривать функционалы следующего вида:, (4.2.5)где ; - задан-ные функции. Выражение (4.2.5) позволяет вычислить для каждого допустимого процесса определенное значение и тем самым задать функционал на множестве допустимых процессов. Для этого необходимо подставить x(t), вместо аргументов функции , которая становится функцией времени, после чего вычислить ее интеграл. Затем к значению интеграла прибавляем значение функции при .Функционал состоит из двух частей: и . Первое из этих слагаемых оценивает качество процесса на на всем промежутке , второе слагаемое - качество конечного состояния системы. Иногда в за-дачах оптимального управления конечное состояние системы задается. В этом случае второе слагаемое функционала (4.2.5) есть величина постоянная и, следовательно, не влияет на его минимизацию. Такие задачи называются задачами с фик-сированным правым концом траектории. Для задач оптимизации в дискретных системах функционал имеет вид. (4.2.6)К функционалу (4.2.6) относятся все замечания и комментарии, сделанные к функционалу (4.2.5).Таким образом задача оптимизации управляемых процессов сводится к постановке задачи о ми-нимуме функционала (4.2.5) в непрерывном и (4.2.6) в дискретном случае на множестве М допустимых процессов , удовлетворяющих ограничениям 1)-4).Эта задача может решаться в двух вариантах:1. Определить оптимальный процесс , чтобы;2. Определить минимизирующую последовательность , чтобы .В теории оптимального управления термины «состояние» и «управление» имеют содержательный смысл. Он заключается в том, что, задавая управление , мы задаем и траекторию процесса , а изменяя управляющие воздействия - «управляем» процессом.Из условия можно выделить ограничения на состояние и управление: , , (4.2.7)где - проекция множества на пространство X; - сечение множества при данном В задачах оптимального управления область возможных состояний часто является постоянной или совпадает со всем пространством, а область возможных управлений не зависит от x. Эти предположения выполняются в большом числе практических случаев, что упрощает решение задачи.Выше предполагалось, что про-межуток времени фиксирован, т. е. задан момент Т окон-чания процесса. При этом возможны постановки задач, где этот момент не задан, а определяется решением задачи. Это относится, в частности, к так называемым задачам о быстродействии, когда требуется перевести систему (4.2.4) из заданного начального состояния х(0)=х0 в заданное конечное состояние , минимизируя при всём этом время протекания процесса. Классификация экономико-математических моделей. Примеры.Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используются разные основания. По целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом и его подсистем - отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.Остановимся более подробно на характеристике таких классов экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта ("выход") воздействуют путем изменения "входа". Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.Выше уже показывались различия между моделями дескриптивными и нормативными. Дескриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего может дальше развиваться?, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть?, т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, установления статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции и функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных. Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит не только от ее математической структуры, но от характера использования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых нормативах производственных затрат. Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании.По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 и более лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, в наибольшей мереудобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т.п. Теория "линейной экономики" существенно отличается от теории "нелинейной экономики". От того, предполагаются ли множества производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми или же невыпуклыми, существенно зависят выводы о возможности сочетания централизованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономических подсистем.По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от "среды", т.е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированные и детализированные.В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные.Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.В виде примеров можно привести простейшие модели - транспортная задача, задача распределения ресурсов, и прочее.Дескриптивные модели представляют собой в основном статистические модели (кривые роста, регрессионные линии), предназначенные для исследования объектов путем установления количественных соотношений между их характеристиками или параметрами.Примеры:1. Требуется определить зависимость потребления бытовых услуг от уровня дохода населения, обеспеченности бытовыми предметами на душу населения и других факторов потребления. Для этого составляют регрессионное уравнениегде Y - потребление бытовых услуг на душу населения; - факторы потребления; - коэффициенты уравнения. Если известны коэффициенты, то зависимость потребления бытовых услуг от принятых факторов считается определенной. Она отражает реальную ситуацию только в среднем, или в статистическом смысле.2. Требуется определить количество заместителей директора для типовых структур управления предприятием. В этом случае проводят статистическое исследование численности указанной категории работников на существующих предприятиях и выводят степенное уравнение. При определенной специализации количество заместителей директора определяют по формуле,где - численность промышленного персонала; - основные и оборотные фонды.Модели без управления применяются для изучения фактически существующих процессов, без вмешательства в их течение. К моделям без управления принадлежат модели экономики страны, расширенного воспроизводства, прогнозирования рождаемости, численности населения и т.д. Как правило, они дают общее представление об объекте. Процессы в моделируемом объекте отображаются в агрегированном виде и максимально обобщены. Поэтому модели без управления не дают полного представления об объекте моделирования и пригодны для изучения только самых общих изменений и тенденций. Модели без управления позволяют изучать явления в целом, комплексно и устанавливают общие фундаментальные свойства объектов и процессов.Оптимизационные модели. Их появление и применение вызвано необходимостью решения практических задач экономики и техники. Особенностью оптимизационных моделей является целенаправленность решения и явная оценка эффективности (качества) различных вариантов решения. В отличие от моделей без управления оптимизационные модели предполагают выявление цели управления и построение целевой функции.Суть получения оптимального решения на модели заключается в выборе из множества возможных решений одного, обеспечивающего максимальную эффективность.Задача об оптимальной перевозке грузов (транспортная задача). Пусть осуществляется производство некоторого товара в пунктах . Объем производства товара в каждом пункте равен соответственно . Товар необходимо доставить в магазины или потребителям, находящимся в других населенных пунктах: . Известна потребность каждого потребителя в товаре: . Задана также стоимость транспортировки товара из каждого пункта производства каждому потребителю . Требуется составить план завоза товара в магазины, обеспечивающий удовлетворение их спроса при минимальных транспортных издержках.Транспортная задачаПусть необходимо перевезти некоторые партии товара из трех складов четырем покупателям, при всём этом известен объем товара на каждом складе и требуемое количество для каждого покупателя, также в таблице указаны стоимости перевозки от каждого склада к каждому покупателю. Найти оптимальный по цене план перевозок.
14 | 28 | 21 | 28 | 27 | |
10 | 17 | 15 | 24 | 20 | |
14 | 30 | 25 | 21 | 43 | |
33 | 13 | 27 | 17 |
14 27 | 28 | 21 | 28 | 27 | |
10 6 | 17 13 | 15 1 | 24 | 20 | |
14 | 30 | 25 26 | 21 17 | 43 | |
33 | 13 | 27 | 17 |
0 | 7 | 5 | 1 | |||
-14 | 14 27 | 28 21 | 21 19 | 28 15 | 27 | |
+ -10 | 10 6 | 17 13 | 15 1 | 24 11 | 20 | |
+ -20 | 14 20 | 30 27 | 25 26 | 21 17 | 43 | |
33 | 13 | 27 | 17 |
0 | 13 | 11 | 7 | |||
+ -14 | 14 27 | 28 27 | 21 25 | 28 21 | 27 | |
-4 | 10 4 | 17 13 | 15 6 | 24 11 | 20 | |
+ -14 | 14 6 | 30 27 | 25 20 | 21 17 | 43 | |
33 | 13 | 27 | 17 |
0 | 9 | 7 | 7 | |||
+ -14 | 14 7 | 28 23 | 21 20 | 28 21 | 27 | |
-8 | 10 8 | 17 13 | 15 7 | 24 15 | 20 | |
+ -14 | 14 26 | 30 23 | 25 10 | 21 17 | 43 | |
33 | 13 | 27 | 17 |
Название характеристики | Формула | |
Выборочный момент порядка k
| ||
Выборочный центральный момент Порядка k
| ||
Выборочное среднее - первый нецентральный момент | ||
Выборочная дисперсия - (см. в главе 2 обоснование деления на n-1 вместо деления на n)
| ||
Выборочный коэффициент асимметрии
| ||
Выборочный коэффициент эксцесса
|
= (Xk +Xk+1) / 2 , при n = 2k мода такое значение xm, которое встречается в выборке чаще всего размах R = X max - X min выборочная дисперсия - оценка дисперсии среднее квадратичное отклонение S = - оценка бСтатистической оценкой теоретического распределения называют функцию f(X1,X2,…,Xn) от наблюдаемых С.В. X1,X2,…,Xn. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом *=f(x1,x2,…,xn), где х1,х2,…,xn - результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка). Несмещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней (мат. ожидания) служит выборочная средняя: Хв=(сумма по i от 1 до k nixi)/n, где xi - варианта выборки, ni - частота варианты xi, n=сумма по i от 1 до k ni - объем выборки. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия: Dв=(сумма по i от 1 до k ni(Хi-Xв)*2)/n. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия: s*2=n/n-1*Dв=сумма ni(xj - Xв)*2/n-1. Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: v1=M1. Учитывая, что v1=M(X) и М1=Хв, получим М(Х)=Хв. Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Учитывая, что v1=M(X),M1=Хв,мю=D(X),m2=Dв, имеем систему: М(Х)=Хв, D(X)=Dв. Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров. Д.С.В. Пусть Х - Д.С.В., которая в результате n опытов приняла возможные значения х1,х2,…,xn. Допустим, что вид закона распределения величины Х задан, но неизвестен параметр , которым определяется этот закон; требуется найти его точечную оценку *= (x1,x2,…,xn). Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение xi через р(xi;). Функцией правдоподобия Д.С.В. Х называют функцию аргумента : L (x1,x2,…,xn;)=p(x1;)*p(x2;)…p(xn;). Оценкой наибольшего правдоподобия параметра называют такое его значение *, при котором функция правдоподобия достигает максимума. Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении , поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут, что удобнее, максимум функции lnL. Н.С.В. Пусть Х - Н.С.В., которая в результате n испытаний приняла значения х1,х2,…,xn. Допустим, что вид плотности распределения - функции f(x) - задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция. Функцией правдоподобия Н.С.В. Х называют функцию аргумента : L(x1,x2,…,xn;)=f(x1;)*f(x2;)…f(xn;). Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительный интервал - это интервал, который с заданной надежностью гамма покрывает заданный параметр. 1. Интервальной оценкой с надежностью гамма мат. ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Хв при известном среднем квадратическом отклонении сигма генеральной совокупности служит доверительный интервал: Хв - t(сигма/корень из n)<a<Хв+t(сигма/корень из n), где t(сигма/корень из n)=дельта - точность оценки, n - объем выборки, t - значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)=гамма/2; при неизвестном сигма (и объеме выборки n<30) Хв - t гамма (s/корень из n)<a<Хв+t гамма (s/корень из n), где s-исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. 2. Интервальной оценкой (с надежностью гамма) среднего квадратического отклонения сигма нормально распределенного количественного признака Х по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал s(1-q)<сигма<s(1+q), при q<1; 0<сигма<s(1+q), при q>1. 3. Интервальной оценкой ( с надежностью гамма) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал ( с приближенными концами р1 и р2).ряд наблюдений над случайной (будем далее полагать - всегда дискретной) величиной. По этим наблюдениям можно строить таблицы или гистограммы, используя значения соответствующих частот (вместо вероятностей). Такие распределения принято называть выборочными, а сам набор данных наблюдений - выборкой.Пусть мы имеем такое выборочное распределение некоторой случайной величины X - т.е. для ряда ее значений (вполне возможно неполного, с “пропусками" некоторых допустимых) у нас есть рассчитанные нами же частоты f i .В большинстве случаев нам неизвестен закон распределения СВ или о его природе у нас имеются догадки, предположения, гипотезы, но значения параметров и моментов (а это неслучайные величины!) нам неизвестны.Разумеется, частоты fi суть непрерывные СВ и, кроме первой проблемы - оценки распределения X, мы имеем ещё одну - проблему оценки распределения частот.Существование закона больших чисел, доказанность центральной предельной теоремы поможет нам мало:· во-первых, надо иметь достаточно много наблюдений (чтобы частоты “совпали” с вероятностями), а это всегда дорого;· во-вторых, чаще всего у нас нет никаких гарантий в том, что условия наблюдения остаются неизменными, т.е. мы наблюдаем за независимой случайной величиной.Теория статистики дает ключ к решению подобных проблем, предлагает методы “работы” со случайными величинами. Большинство этих методов появилось на свет как раз благодаря теоретическим исследованиям распределений непрерывных величин.Проверка статистических гипотез. Уровень значимости. Правило Неймана-Пирсона отбора критериев для простых гипотез. Критерии значимости. Доверительная область. Нормальное распределение. Критерий согласия Пирсона.Определение 19.1. Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений. Определение 19.2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.Определение 19.3. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, сложной - гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. В результате проверки правильности выдвинутой нулевой гипотезы ( такая проверка называется статистической, так как производится с применением методов математической статистики) возможны ошибки двух видов: ошибка первого рода, состоящая в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, заключающаяся в том, что будет принята неверная гипотеза. Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной задачи. Например, если проверяется правильность выбора метода лечения больного, то ошибка первого рода означает отказ от правильной методики, что может замедлить лечение, а ошибка второго рода (применение неправильной методики) чревата ухудшением состояния больного и является более опасной. Определение 19.4. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости б. Основной прием проверки статистических гипотез заключается в том, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайной величины, имеющей известный закон распределения. Определение 19.5. Статистическим критерием называется случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы. Определение 19.6. Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы - область значений критерия, при которых гипотезу принимают. Итак, процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов: · выбирается статистический критерий К; · вычисляется его наблюдаемое значение Кнабл по имеющейся выборке;· поскольку закон распределения К известен, определяется (по известному уровню значимости б) критическое значение kкр, разделяющее критическую область и область принятия гипотезы (например, если р(К > kкр) = б, то справа от kкр располагается критическая область, а слева - область принятия гипотезы); · если вычисленное значение Кнабл попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, если в критическую область - нулевая гипотеза отвергается. Различают разные виды критических областей: · правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K > kкр ( kкр > 0); · левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K < kкр ( kкр < 0); · двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами K < k1, K > k2 (k2 > k1). Определение 19.7. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза. Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) в, то мощность критерия равна 1 - в. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной. В ряде случаев оказывается достаточно трудно, а иногда и невозможно определить даже хотя бы приблизительно не только априорные вероятности гипотез, но и цены решений. Классическим примером такой ситуации является обнаружение сигналов в радиолокации. То же самое имеет место и в системах передачи дискретных сообщений при обнаружении начала информационной последовательности (радиограммы, команды и т.п.).В этих условиях обычно приходится задаваться некоторым значением вероятности ошибочного решения при справедливости одной из гипотез (например, ) и выбирать стратегию, обеспечивающую минимальное значение вероятности ошибочного решения при справедливости другой гипотезы . Такой критерий оптимизации стратегии называется критерием Неймана-Пирсона. Применительно к случаю радиолокационного обнаружения задаются вероятностью ошибочной регистрации сигнала при наличии на входе только шума, называемой вероятностью ложной тревоги . Минимизируемая вероятность при всём этом носит название вероятности пропуска цели .Можно показать, что стратегия, оптимальная по Нейману-Пирсону, по-прежнему сводится к сравнению величины отношения правдоподобия с некоторым пороговым значением , определяемым в данном случае требуемым значением вероятности ложной тревоги .Значимости уровень статистического критерия, вероятность ошибочно отвергнуть основную проверяемую гипотезу, когда она верна. В теории статистической проверки гипотез З. у. называется вероятностью ошибки первого рода. Понятие "З. у." возникло в связи с задачей проверки согласованности теории с опытными данными. Если, например, в результате наблюдений регистрируются значения n случайных величин X1,..., Xn и если требуется по этим данным проверить гипотезу Н, согласно которой совместное распределение величин X1,..., Xn обладает некоторым определённым свойством, то соответствующий статистический критерий конструируется с помощью подходящим образом подобранной функции Y = f (X1,..., Xn); эта функция обычно принимает малые значения, когда гипотеза Н верна, и большие значения, когда Н ложна. В частности, если X1,..., Xn - результаты независимых измерений некоторой известной постоянной а и гипотеза Н представляет собой предположение об отсутствии в результатах измерений систематических ошибок, то для проверки Н разумно в качестве Y выбрать (2m - n)2, где m - количество тех результатов измерений X1, которые превышают истинное значение а. Наблюдаемое в опыте большое значение Y можно рассматривать как значимое статистическое опровержение гипотетического согласия между результатами наблюдений и проверяемой гипотезой. Соответствующий критерий значимости представляет собой правило, согласно которому значимыми считаются значения Y, превосходящие заданное критическое значение у. В свою очередь выбор величины у определяется заданным З. у., который в случае справедливости гипотезы Н совпадает с вероятностью события {Y>y}.Мы рассматриваем независимую выборку , обозначая неизвестную функцию распределения . Нас интересует вопрос о том, согласуются ли данные наблюдений с простой гипотезой где -- некоторая конкретная фиксированная функция распределения. Вначале разобъем множество на конечное число непересекающихся подмножеств . Пусть -- вероятность, соответствующая функции распределения , обозначим Очевидно, что Теперь сделаем группировку данных аналогично процедуре, описанной в 6.3, а именно, определим
(50) |
(51) |
Подчеркнем, что величина вычисляется по выборке. Функцию принято называть статистикой Пирсона. Обсудим ее свойства. Поведение , когда гипотеза верна. Речь идет о поведении при увеличении объема выборки: . Теорема К. Пирсона. Предположим, что гипотеза верна. Тогда при распределение величины сходится к распределению хи-квадрат с степенью свободы, то есть, Практический смысл этой теоремы в том, что при большом объеме выборки распределение можно считать распределением хи-квадрат с степенью свободы. Поведение , когда гипотеза неверна. Предположим теперь, что и разбиение таково, что где вероятности вычислены по функции распределения . Тогда можно показать (см., например, [13, § 10.4]), что
если | (52) |
Критерий проверки. То обстоятельство, что поведение существенно различно в зависимости от того верна или нет гипотеза , дает возможность построить критерий для ее проверки. Зададимся некоторым уровнем значимости (допустимой вероятностью ошибки) и возьмем квантиль , определенную формулой (45): Определим критическое множество : Таким образом, наши действия по принятию (или отвержению) гипотезы состоят в следующем. Подстановкой имеющихся данных в формулу (51) вычисляется значение функции , которое затем сравнивается с : если , то гипотеза отвергается (при всём этом говорят, что выборка обнаруживает значимое отклонение от гипотезы ), если , то гипотеза принимается (говорят, что выборка совместима с гипотезой ). Действительно, такое решающее правило соответствует вышеизложенным фактам о поведении функции . Приведем аргументы, основанные на здравом смысле, свидетельствующие в пользу этого решающего правила. Если значения функции оказались ``слишком большими'', то, принимая во внимание (52), разумно считать, что гипотеза не имеет места. Если же значения ``не слишком большие'', то, скорее всего, гипотеза верна, поскольку это согласуется с теоремой Пирсона. При таком решающем правиле мы может допустить ошибку, отвергнув верную гипотезу . Из теоремы Пирсона вытекает, что при больших величина вероятности этой ошибки близка к . Регрессии. Линейная регрессия для системы двух случайных величин. Основные аспекты множественной регрессии. Нелинейная регрессия. Метод наименьших квадратов.Пусть наблюдаемая случайная величина зависит от случайной величины или случайного вектора . Значения мы либо задаем, либо наблюдаем. Обозначим через функцию, отражающую зависимость среднего значения от значений :
(29) |
| ||||
|
| (37) | ||
|
(38) |

![]() |
![]() Чтобы скачать работу бесплатно нужно вступить в нашу группу ВКонтакте. Просто кликните по кнопке ниже. Кстати, в нашей группе мы бесплатно помогаем с написанием учебных работ.
Через несколько секунд после проверки подписки появится ссылка на продолжение загрузки работы. ![]() Кстати! В нашей группе ВКонтакте мы бесплатно помогаем с поиском рефератов, курсовых и информации для их написания. Не спешите выходить из группы после загрузки работы, мы ещё можем Вам пригодиться ;) |
![]() |
Сколько стоит заказать работу? Бесплатная оценка |
![]() |
Повысить оригинальность данной работы. Обход Антиплагиата. |
![]() |
Сделать работу самостоятельно с помощью "РЕФ-Мастера" ©
Узнать подробней о Реф-Мастере ![]() РЕФ-Мастер - уникальная программа для самостоятельного написания рефератов, курсовых, контрольных и дипломных работ. При помощи РЕФ-Мастера можно легко и быстро сделать оригинальный реферат, контрольную или курсовую на базе готовой работы - Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики.
Основные инструменты, используемые профессиональными рефератными агентствами, теперь в распоряжении пользователей реф.рф абсолютно бесплатно! |
![]() |
Как правильно написать введение?
Подробней о нашей инструкции по введению ![]() Секреты идеального введения
курсовой работы (а также реферата и диплома) от профессиональных авторов
крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно
сформулировать актуальность темы работы, определить цели и задачи,
указать предмет, объект и методы исследования, а также теоретическую,
нормативно-правовую и практическую базу Вашей работы.
|
![]() |
Как правильно написать заключение?
Подробней о нашей инструкции по заключению ![]() Секреты идеального заключения
дипломной и курсовой работы от профессиональных авторов
крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно
сформулировать выводы о проделанной работы и составить рекомендации по совершенствованию изучаемого вопроса.
|
![]() |
Как оформить список литературы по ГОСТу? |
![]() |
|
![]() |
реферат по предмету Экономико-математическое моделирование на тему: Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики - понятие и виды, структура и классификация, 2017, 2018-2019 год.
Заказать реферат
(курсовую, диплом или отчёт) без рисков, напрямую у автора.
Перейти в список рефератов, курсовых, контрольных и дипломов по
дисциплине
Экономико-математическое моделирование