Пригодилось? Поделись!

Процент. Наращение

Контрольная работа

Процент. Наращение


Наращение первоначальной суммы капитала - это процесс присоединœения к ней процентов в результате какой-либо финансовой операции. В зарубежной литературе используются термины accumulation (наращение), present value (PV, современная величина, первоначальной сумма), future value (FV, будущая величина, наращенная сумма).

Неотъемлемой частью финансовых и экономических расчетов является начисление различного типа процентов. Целью данной работы является систематизация знаний студентов о процентах как числовых понятиях и приобретение и умений навыков начисления простых и сложных процентов.

Есть два способа начисления процентов. Декурсивный. Когда проценты начисляются в конце срока и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. При этом увеличение суммы долга в связи с присоединœением процентов называют наращением суммы.

Второй способ антисипативный (дисконтирование) – сокращения. Процентный доход выплачивается в начале срока, при этом должнику выдаётся сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежит исходная сумма.

Процент – сотая доля числа. В простейшем случае для нахождения определœенного процента от числа выполняются такие действия

а) найти 1% числа 240: ;

б) найти 5% числа 240: ;

в) найти 85% числа 240: ;

г) найти 135% числа 240: .

Чтобы выяснить, какой процент составляет число от известного целого, решаем обратную задачу.

К примеру, чтобы найти, сколько процентов составляет число 25 от числа 160, крайне важно

Аналогично, чтобы найти целое по известной его части (его проценту), решаем задачу следующего типа: найти число, если число17 составляет 8% от него. Это число будет

При выполнении различных экономических и финансовых расчетов составной их частью является учет фактора времени, который учитывает, к примеру, процентная ставка по вкладу или процентные ставки за предоставляемые кредиты и т.д.

Начисление процентов. Начисление процентов — осуществляется по расчетным, текущим (кроме бюджетных), заемным, депозитным счетам, а также по вкладам граждан. Уровень процентных ставок по активным и пассивным операциям, порядок, период, сроки начисления процентов, порядок их взимания (зачисление на счета клиентов по пассивным операциям) определяются в договоре между банком и клиентом. При начислении процентов количество дней в месяце условно принимается за 30, а в году — за 360. Проценты начисляются в размере и в сроки, указанные в договоре, но не реже одного раза в квартал.

Дадим формулы для расчета будущих сумм S по начальному вкладу Р. В основе их построения лежит понятие единичного периода начисления (Т=1) и процентной ставки i, которая фиксирует процентное увеличение исходной суммы Р за первый период. В результате сумма на конец этого промежутка времени будет равна . В случае если ставка i измеряется десятичной дробью, то S1=P+P·i.

По отношению к следующим периодам ставки процентов трактуются по-разному в зависимости от принятой схемы начисления: по простым или по сложным процентам. В первом случае приросты денежных сумм для любого периода будут составлять всœе ту же долю i от первоначальной суммы Р. в результате наращенная за п периодов сумма составит величину

Sn=P+n·i·P=P·(1+n·i)                                                                      (1)

Здесь и в дальнейшем будем пользоваться дробным измерением ставки i.

В отличие от простых для сложных процентов одна и та же ставка i берется для каждого последующего промежутка не от первоначальной суммы, а от результата предыдущего начисления, ᴛ.ᴇ. от суммы, наращенной на начало данного периода. Отсюда следует, что вклад Р при ставке сложного процента i через п периодов составит сумму

Sn=P·(1+i)n                                                                                      (2)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, последовательность наращенных сумм {Sn} в случае простых процентов представляет арифметическую прогрессию, в то время как для сложных процентов прогрессия будет геометрической.

Выражения (1) и (2) называют формулой простых и, соответственно, сложных процентов, а под процентными деньгами или, кратко, процентами понимают величину дохода (приращение денег) In=Sn-P. В финансовых вычислениях в случае меняющихся во времени процентных ставок используют очевидные обобщения правил (1), (2):


 - для простых процентов,

 - для сложных процентов.

Дисконтирование и удержание процентов. Эти процедуры являются обратными по отношению к процессу начисления процентов. Дисконтированием принято называть авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, ᴛ.ᴇ. до наступления срока ее погашения.

Другим вариантом дисконтирования является учет векселœей в банке, когда банк, принимая вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселœе сумму до срока ее погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг (долговых обязательств).

В нашем случае исходной величиной выступает не начальный вклад Р, а некоторая будущая сумма S. Вопрос состоит в том, чтобы определить эквивалентную сумму Р, отстоящую на t предшествующих периодов до срока выплаты S. Учитывая зависимость отпринятого критерия эквивалентности можно выделить два подхода к расчету предшествующих сумм.

В первую очередь, по размеру вклада Р, который при начислении процентов через t периодов дает сумму S, и, во-вторых, по размеру платежа, к которому придем при удержании процентов с финальной суммы S за срок t. Таким образом, при одном толковании за базовую величину, ᴛ.ᴇ. за 100%, принимается размер вклада Р, в то время как при другом – за 100% берется будущая сумма S. Вместе с тем, по каждому варианту дисконтирование можно производить как по простым, так и по сложным процентам.

В случае приведения по вкладу Р для нахождения дисконтированных значений достаточно воспользоваться формулами (1) и (2), решив их относительно величины Р.

В результате получим две формулы:

                                                                                  (3)

при дисконтировании по простым процентам и

                                                                                  (4)

для сложных процентов. Стоящие в этих формулах мультипликаторы

 и

показывают, какую долю составляет Р в величинœе S при простой и соответственно сложной ставке процентов и называются дисконтными множителями.

Величину Р, найденную дисконтированием S по вкладу, называют современной, или приведенной величиной S. Это понятие является одним из важнейших в количественном анализе финансовых операций, поскольку именно с помощью дисконтирования учитывается такой фактор, как время.

Формулы дисконтирования по платежу (второй подход) можно получить, используя формулы (1) и (2) с заменой схемы начисления процентов на вклад Р схемой их удержания с суммы S за тот же срок вложения. За основу их построения принять понятие единичного периода удержания процентов (дисконтирования) и учетной ставки d, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы S на один период «назад». Отсюда следует, что на начало этого периода эквивалентная выплате S сумма составит величину Р, которая при дробном измерении ставки определяется формулой P=S-d·S.

По отношению к следующим периодам учетная ставка трактуется по разному в зависимости от принятой схемы дисконтирования: по простым или по сложным процентам. В первом случае удержания денежных сумм (дисконты) по каждому периоду будут составлять всœе тот же процент d от всœе той же суммы S. В результате такого дисконтирования за t периодов получиться величина

Pt=S - tdS=S(1 - td)                                                                        (5)

В отличие от этого при учете по сложной ставке последовательные по периодам снижения берутся как один и тот же процент d, но не от одной и той же величины S, а каждый раз от новой, полученной в результате дисконтирования на сосœедний период. Отсюда следует формула дисконтирования (учета) по сложным процентам, где в качестве процента выступает доля удержания d:

Pt=S·(1 - d)t.

(6)

Схема дисконтирования (3) и (4) широко применяется в многообразных задачах финансового анализа, в том числе для сравнения потоков платежей и при расчете стоимости облигаций и прочих ценных бумаᴦ.

Дисконтирование по удержанию (5) и (6) используется при учете векселœей. Суть этой финансовой операции состоит в следующем. Некто выдает вексель (расписку) с обязательством уплатить сумму S на определœенную дату T. Владелœец векселя в случае нужды может досрочно учесть его, ᴛ.ᴇ. получить деньги раньше срока в коммерческом банке (КБ) по установленной последним учетной ставке d, которая уменьшает сумму выплаты. В зависимости от принятых условий учет проводиться по простым (5) или сложным (6) процентам.

Такой вексель, который допускает участие третьих лиц, принято называть переводным или траттой. В дальнейшем на дату Т, банк предъявляет вексель тому, кто его выписал, и получает сумм S, извлекая из этой операции собственную выгоду: учитывал по меньшей сумме, а получил большую.

Пример. Тратта выдана на сумму 100 тыс.грн. с уплатой 17.11. Владелœец документа учел его в банке 23.09 по учетной ставке 8%. Так как до погашения обязательства период равен 55 дням, то полученная сумма (без уплаты комиссионных) составит

 грн.

а дисконт равен D=100000-98777,78=1222,22 грн.

Задание

1) Найти 41,5%от заданного числа 905.

2) Найти, сколько процентов составляет число 32,7 от заданного числа 79,39

3) Найти число q, если данное число 15 составляет 1,98% от него.

4) Найти наращенную сумму Sn по вкладу 854 при ставке 7,3% для случая простых и сложных процентов за 3мес. периодов.

5) Найти дисконт d при тратте 1203 и учетной ставке 9%, а также годовую доходность операции учета по простой ставке для банка, если известны сроки уплаты: 1.10 и учета документа: 15.7.

Решение

1)  Найти 41,5% от числа 905?


Решение

1.  Найдём чему равен 1% от числа 905.

905/100 = 9,05

2.  Найдем чему равно 41,5 % от 905.

9,05*41,5 = 375,58

Ответ: 375,58

2) Найти сколько процентов составляет число 32,7 от числа 79,39?

Решение

1. Найдём чему равен 1% от числа 79,39 79,39/100 = 0,8

2.  Найдём сколько процентов от числа 79,39 содержиться в числе 32,7

32,7 / 0,8 = 40,88

Ответ: 40,88

3) Найти число q, если данное число 15 составляет 1,98% от него.

1. Найдём 1% от числа q.

15 / 1,98 = 7,58

2. Найдём число q.

7,58 * 100 = 758

Ответ q =758

4) Найти наращенную сумму Sn по вкладу 854 при ставке 7,3% для случая простых и сложных процентов за 3мес. периодов.

1. Найдём нарощенную сумму

S = 854 *(1+7,3)^3= 571,79 * 854 = 488306,1

Ответ 488306,1


Процент. Наращение - 2020 (c).
Яндекс.Метрика