Пройти Антиплагиат ©



Главная » Рефераты » Текст работы «Эрмитовы операторы»


Эрмитовы операторы

Рассмотрение понятия тождественного (единичного) оператора. Анализ методов решения линейных однородного и неоднородного уравнений. Ознакомление с определением эрмитовости оператора. Доказательство теоремы о свойствах ортогональности собственных функций.

Дисциплина: Математика
Вид работы: реферат
Язык: русский
Дата добавления: 16.08.2015
Размер файла: 19 Kb
Просмотров: 4693
Загрузок: 17

Все приложения, графические материалы, формулы, таблицы и рисунки работы на тему: Эрмитовы операторы (предмет: Математика) находятся в архиве, который можно скачать с нашего сайта.
Приступая к прочтению данного произведения (перемещая полосу прокрутки браузера вниз), Вы соглашаетесь с условиями открытой лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная (CC BY 4.0)
.

Эрмитовы операторы

Содержание

  • Линейные операторы
  • Линейные уравнения
  • Эрмитовы операторы
  • Линейные операторы
  • Пусть M и N -- линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел ? и ? справедливо равенство
  • L(?+ ?g) = ?Lf + ?Lg (1)
  • При этом множество M = ML называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.
  • Линейные уравнения
  • Пусть L -- линейный оператор с областью определения ML . Уравнение
  • Lu = F (2)
  • называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из ML -- решением этого уравнения.
  • Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение
  • Lu = 0 (3)
  • называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).
  • В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.
  • Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения u, соответствующего линейного однородного уравнения (3)
  • и = ио + u.
  • Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в ML, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в ML. Обозначим через Rl область значений оператора L, т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf}, где f пробегает ML. Тогда для любого F Є Rl уравнение (2) имеет единственное решение и Є ML , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из Rl соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L-1, так что
  • и = L-1F. (4)
  • Оператор L-1, очевидно, является линейным и отображает Rl на ML. Непосредственно из определения оператора L-1, а также из соотношений (2) и (4) вытекает:
  • L L-1F = F, F Є Rl ; L-1Lu = u, и Є ML,
  • т.е. L L-1=I, L-1L = I.
  • Если линейный оператор L имеет обратный L-1, то системы функций {?k} и {L?k} одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все ?k принадлежат ML.)
  • Рассмотрим линейное однородное уравнение
  • Lu = ?u, (5)
  • где ? -- комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех ?. Может случиться, что при некоторых ? оно имеет ненулевые решения из ML. Те комплексные значения ?, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения -- собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ? r ? ?, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению ?, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то ? называется простым собственным значением.
  • Если кратность r собственного значения ? оператора L конечна и u1,...,и2 -- соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация
  • u0 = c1u1 + c2u2 + ... + crur
  • также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения
  • Lu = ? u + f (6)
  • существует, то его общее решение представляется формулой
  • и = и* +?сkиk, (7)
  • где и* -- частное решение (6) и сk, k = l,2,...,r, -- произвольные постоянные.
  • Эрмитовы операторы
  • Линейный оператор L, переводящий MLСL2(G) в L2(G), называется эрмитовым, если его область определения ML плотна в L2(G) и для любых f и g из Ml справедливо равенство
  • (Lf,g) = (f,Lg ).
  • Выражения (Lf, g) и (Lf, f) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L.
  • Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є Ml, где Ml плотна в L2(G), принимала только вещественные значения.
  • Линейный оператор L, переводящий Ml С L2(G) в L2(G), называется положительным, если Ml плотна в L2(G) и
  • (Lf, f) ? 0, f Є Ml .
  • В частности, всякий положительный оператор эрмитов.
  • Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
  • Доказательство. Пусть ?0 -- собственное значение, u0 -- соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u0 = ?0u0. Умножая скалярно это равенство на u0, получим
  • (Lu0, u0) = (?0 u0, u0) = ?0 (u0, u0) ?0|| u0||2 = ?0. (8)
  • Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) ?0 -- вещественное (неотрицательное) число.
  • Докажем, что любые собственные функции и1 и и2, соответствующие различным собственным значениям ?1 и ?2, ортогональны. Действительно, из соотношений
  • Lu1 = ?1 и1, Lu2 = ?2и2,
  • из вещественности ?1 и ?2 и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств
  • ?112) = (? и12) = (Lи12) = (и1,Lu2) = (и1,?2и2) = =?2(и12),
  • т.е. ?112) = ?212). Отсюда, поскольку ?1 ? ?2, вытекает, что скалярное произведение (и12) равно нулю. Теорема доказана.
  • Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: ?1,?2,..., повтори ?k столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и12,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция иk:
  • Luk = ?k , иk, k = 1,2,...
  • Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {?k} состоит из линейно независимых функций. Всякая система ?1,?2,... линейно независимых функций из L2(G) преобразуется в ортонормальную систему ?1,?2, -- следующим процессом ортогонализации Шмидта:
  • ?1 = ?1 /||?2 || , ?2 = ?2 - (?2, ?1) ?1 / || ?2 - (?2, ?1) ?1 ||
  • ?k = ?k - (?k, ?k-1)?k-1 - … - (?k,?1)?1 / || ?k - (?k, ?k-1)?k-1 - … - - (?k,?1)?1||
  • При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
  • Таким образом, если система собственных функций {ик} эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:
  • (Luk,ui ) = ?k(иk,ui) = ?k?ki
  • Список литературы
  • 1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. -- М.: Физмат-лит, 2000.
  • 2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. -- Изд. 5-е. -- М.: Наука, 1985.
  • 3. Никольский СМ. Математический анализ.--Изд. 5-е. -- М.: Физмат-лит, 2000.

Заказать работу без рисков и посредников








Хочу скачать данную работу! Нажмите на слово скачать
Чтобы скачать работу бесплатно нужно вступить в нашу группу ВКонтакте. Просто кликните по кнопке ниже. Кстати, в нашей группе мы бесплатно помогаем с написанием учебных работ.

Через несколько секунд после проверки подписки появится ссылка на продолжение загрузки работы.
Сколько стоит заказать работу? Бесплатная оценка
Повысить оригинальность данной работы. Обход Антиплагиата.
Сделать работу самостоятельно с помощью "РЕФ-Мастера" ©
Узнать подробней о Реф-Мастере
РЕФ-Мастер - уникальная программа для самостоятельного написания рефератов, курсовых, контрольных и дипломных работ. При помощи РЕФ-Мастера можно легко и быстро сделать оригинальный реферат, контрольную или курсовую на базе готовой работы - Эрмитовы операторы.
Основные инструменты, используемые профессиональными рефератными агентствами, теперь в распоряжении пользователей реф.рф абсолютно бесплатно!
Как правильно написать введение?
Подробней о нашей инструкции по введению
Секреты идеального введения курсовой работы (а также реферата и диплома) от профессиональных авторов крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно сформулировать актуальность темы работы, определить цели и задачи, указать предмет, объект и методы исследования, а также теоретическую, нормативно-правовую и практическую базу Вашей работы.
Как правильно написать заключение?
Подробней о нашей инструкции по заключению
Секреты идеального заключения дипломной и курсовой работы от профессиональных авторов крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно сформулировать выводы о проделанной работы и составить рекомендации по совершенствованию изучаемого вопроса.
Всё об оформлении списка литературы по ГОСТу Как оформить список литературы по ГОСТу?
Рекомендуем
Учебники по дисциплине: Математика







реферат по предмету Математика на тему: Эрмитовы операторы - понятие и виды, структура и классификация, 2017, 2018-2019 год.



Заказать реферат (курсовую, диплом или отчёт) без рисков, напрямую у автора.

Похожие работы:

Воспользоваться поиском

Похожие учебники и литература 2019:    Готовые списки литературы по ГОСТ

Шпоры по математике
Общая статистика. Конспект лекций
Теория вычислительных процессов
Статистика коммерческой деятельности



Скачать работу: Эрмитовы операторы, 2019 г.

Перейти в список рефератов, курсовых, контрольных и дипломов по
         дисциплине Математика